Gráficos do seno e do cosseno
Acompanhe a altura de um ponto que dá voltas numa circunferência e marque-a em função do ângulo: uma volta desenha uma onda completa, de comprimento 2π.
Da circunferência à onda
Na unidade anterior, o seno de um ângulo era a altura de um ponto do círculo trigonométrico. Agora transforme o ângulo no eixo horizontal de um gráfico, medido em radianos, e marque essa altura acima dele. Em 0, o ponto está em (1, 0), altura 0. Ele sobe até a altura 1 em π/2, volta a 0 em π, desce a −1 em 3π/2 e volta a 0 em 2π, onde começou. A curva que você obtém é a senoide. Continue dando voltas e a mesma forma se repete.
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Período e imagem
O OpenStax Precalculus descreve as principais características. O gráfico se repete depois de 2π, então o seno é uma função periódica de período 2π: sin(x + 2π) = sin x para todo x. Os valores nunca passam de 1 nem ficam abaixo de −1, porque o ponto continua numa circunferência de raio 1. A onda corta o eixo em todo múltiplo de π, tem seus picos em π/2 mais voltas inteiras e seus pontos mais baixos em 3π/2 mais voltas inteiras.
O cosseno é a coordenada horizontal, então seu gráfico começa em 1 quando x = 0, cai para 0 em π/2 e chega a −1 em π. É a mesma onda do seno, deslocada um quarto de volta para a esquerda: cos x = sin(x + π/2). Ligue o gráfico do cosseno no laboratório para ver as duas curvas lado a lado, sempre a um quarto de período uma da outra.
Esticando a onda
O Precalculus escreve a função senoidal geral como y = A sin(Bx − C) + D. Aqui só A e B importam. O número A estica a onda na vertical; seu valor absoluto |A| é a amplitude, a altura de um pico acima da linha do meio. Assim, y = 3 sin x oscila entre 3 e −3. O número B comprime a onda na horizontal: o período passa a ser P = 2π/|B|. Com B = 2, a onda se repete a cada π, com o dobro da frequência; com B = 1/2, ela leva 4π, cerca de 12.57, para se repetir. Um A negativo vira a onda de cabeça para baixo sem mudar a amplitude.
- por volta de 140 a.C.: Hiparco faz a primeira tabela de cordas conhecida.
- por volta de 500: Aryabhata tabela meias cordas e chama o seno de jya.
- 628: Brahmagupta reproduz a mesma tabela de senos.
- 980: Abu'l-Wafa conhece sin 2x = 2 sin x cos x.
- 1533: É publicado o De triangulis de Regiomontanus, escrito por volta de 1464.
- 1583: Thomas Fincke usa pela primeira vez o nome tangente.
- 1624: Edmund Gunter escreve pela primeira vez a abreviação sin.
- Período de y = sin x, com 4 casas decimais?
- Maior valor de sin x?
- Em qual x entre 0 e 2π o sin x chega a −1?
- 3π/2
- π
- π/2
- 2π
- cos 0?
- Amplitude de y = 3 sin x?
- Amplitude de y = −2 sin x?
- Período de y = sin 2x, com 4 casas decimais?
- Período de y = sin(x/2), com 2 casas decimais?
- cos x é igual a:
- sin(x + π/2)
- sin(x + π)
- −sin x
- sin 2x
- A palavra latina sinus, que deu origem a seno, quer dizer:
- uma dobra
- uma corda
- uma circunferência
- uma sombra
- Quem usou primeiro a abreviação sin, e em que ano? Dê o ano.
- sin x marca a altura de um ponto do círculo trigonométrico em função do ângulo.
- Período 2π; valores entre −1 e 1; zeros nos múltiplos de π.
- cos x = sin(x + π/2): a mesma onda adiantada um quarto de volta.
- y = A sin(Bx): amplitude |A|, período 2π/|B|.
- jya → jiba → jaib → sinus; sin escrito pela primeira vez por Gunter em 1624.
Fontes deste curso (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Data de verificação: 2026-10-17