Seno, cosseno e tangente
Em todo triângulo retângulo com um ângulo de 35°, o lado oposto a esse ângulo mede cerca de 0.574 do lado maior, seja o triângulo desenhado num guardanapo ou atravessando um vale.
Dando nome aos lados a partir de um ângulo
A trigonometria começa com um triângulo retângulo e um dos seus dois ângulos agudos, geralmente chamado θ (teta). O lado maior, em frente ao ângulo reto, é a hipotenusa. Os outros dois lados, os catetos, recebem o nome a partir de θ. O cateto que toca θ é o cateto adjacente, do latim "que fica ao lado". O lado do outro lado do triângulo, em frente a θ, é o cateto oposto. Escolha o outro ângulo agudo e os nomes desses dois lados se trocam, algo que o OpenStax destaca: o cateto adjacente a um ângulo agudo é oposto ao outro.
Três razões
Divida um lado por outro e você obtém uma razão. Três dessas razões têm nome. O seno de θ é o cateto oposto sobre a hipotenusa. O cosseno de θ é o cateto adjacente sobre a hipotenusa. A tangente de θ é o cateto oposto sobre o cateto adjacente. O OpenStax dá o truque de memória em inglês SohCahToa: Seno é Oposto sobre Hipotenusa, Cosseno é Adjacente sobre Hipotenusa, Tangente é Oposto sobre Adjacente. Num triângulo de lados 3, 4 e 5, o ângulo oposto ao lado 4 tem sin = 4/5 = 0.8, cos = 3/5 = 0.6 e tan = 4/3, cerca de 1.333.
sin θ = cateto oposto / hipotenusa, cos θ = cateto adjacente / hipotenusa, tan θ = cateto oposto / cateto adjacente.
Por que só o ângulo decide a razão
Desenhe dois triângulos retângulos com o mesmo ângulo de 35°, um pequeno e um grande. Os três ângulos coincidem (35°, 90° e 55°), então eles são semelhantes: o grande é uma cópia ampliada do pequeno. Ampliar multiplica todos os lados pelo mesmo número, e esse número se cancela em qualquer razão entre dois lados. Então sin 35° é um único número, cerca de 0.5736, não importa o tamanho do triângulo. É isso que permite a uma calculadora guardá-lo. No laboratório, mantenha θ fixo e arraste o controle da hipotenusa: todos os comprimentos mudam, as razões não.
Arraste para girar. Role ou faça pinça para dar zoom.
A calculadora dá esses valores diretamente, mas confira se ela está em graus (muitas vezes indicado como DEG). No modo radianos, sin 30 dá cerca de −0.988 em vez de 0.5, porque ela lê o 30 como 30 radianos. O OpenStax também define três razões inversas: secante = hipotenusa / cateto adjacente, cossecante = hipotenusa / cateto oposto e cotangente = cateto adjacente / cateto oposto. Elas são as três primeiras de cabeça para baixo, por isso este curso trabalha com seno, cosseno e tangente.
- Qual lado é a hipotenusa?
- o lado oposto ao ângulo reto
- o lado ao lado de θ
- o lado oposto a θ
- o lado menor
- Lados 5, 12, 13. O ângulo θ é oposto ao lado 5. Quanto é sin θ com 4 casas decimais?
- Mesmo triângulo. Quanto é cos θ com 4 casas decimais?
- Mesmo triângulo. Quanto é tan θ em forma de fração?
- Exemplo do OpenStax: cateto adjacente 15, hipotenusa 17. Quanto é cos α?
- Compare um triângulo de lados 6, 8, 10 com um de lados 3, 4, 5. Para ângulos correspondentes, o seno é:
- o mesmo
- o dobro
- a metade
- quatro vezes maior
- Hipotenusa 6 e θ = 35°. Comprimento do cateto oposto, com 2 casas decimais?
- Quanto é tan 35° com 4 casas decimais?
- sin 30 na calculadora dá −0.988. O que está errado?
- ela está no modo radianos
- a bateria está fraca
- o seno pode ser negativo
- nada
- Num triângulo retângulo, sin θ está sempre:
- entre 0 e 1
- acima de 1
- igual a tan θ
- negativo
- Lados 3, 4, 5 com θ oposto ao 4. Quanto é sec θ = hipotenusa / cateto adjacente?
- Hipotenusa: em frente ao ângulo reto. Oposto e adjacente dependem de θ.
- sin = CO/hip, cos = CA/hip, tan = CO/CA (SohCahToa).
- Triângulos semelhantes dão as mesmas razões, então cada ângulo tem um só seno, cosseno e tangente.
- Ponha a calculadora em graus.
- sec, csc e cot são os inversos de cos, sin e tan.
Fontes deste curso (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Data de verificação: 2026-10-17