edubun
Español
English한국어Español
Inicio›Geometría y dibujo técnico›Trigonometría

Seno, coseno y tangente

En todo triángulo rectángulo con un ángulo de 35°, el lado opuesto a ese ángulo mide alrededor de 0.574 veces el lado más largo, tanto si el triángulo está dibujado en una servilleta como si cruza un valle.

Nombrar los lados desde un ángulo

La trigonometría empieza con un triángulo rectángulo y uno de sus dos ángulos agudos, que se suele llamar θ (theta). El lado más largo, frente al ángulo recto, es la hipotenusa. Los otros dos lados, los catetos, reciben su nombre según θ. El cateto que toca a θ es el cateto adyacente, del latín "que está al lado". El cateto que está al otro lado del triángulo, frente a θ, es el cateto opuesto. Si eliges el otro ángulo agudo, los nombres de estos dos lados se intercambian, como señala expresamente OpenStax: el cateto adyacente a un ángulo agudo es el opuesto al otro.

Visto desde θ: a es el cateto opuesto, b el cateto adyacente y c la hipotenusa. Los nombres siempre dependen del ángulo elegido.

Tres razones

Divide un lado entre otro y obtienes una razón. Tres de estas razones tienen nombre. El seno de θ es el cateto opuesto entre la hipotenusa. El coseno de θ es el cateto adyacente entre la hipotenusa. La tangente de θ es el cateto opuesto entre el adyacente. OpenStax da la regla mnemotécnica SohCahToa, que funciona igual en español: Seno es Opuesto entre Hipotenusa, Coseno es Adyacente entre Hipotenusa, Tangente es Opuesto entre Adyacente. En un triángulo de lados 3, 4 y 5, el ángulo opuesto al lado 4 tiene sin = 4/5 = 0.8, cos = 3/5 = 0.6 y tan = 4/3, alrededor de 1.333.

sin θ = opuesto / hipotenusa, cos θ = adyacente / hipotenusa, tan θ = opuesto / adyacente.

Por qué el ángulo solo decide la razón

Dibuja dos triángulos rectángulos con el mismo ángulo de 35°, uno pequeño y otro grande. Sus tres ángulos coinciden (35°, 90° y 55°), así que son semejantes: el grande es una copia a escala del pequeño. Cambiar la escala multiplica todos los lados por el mismo número, y ese número se cancela en cualquier razón entre dos lados. Así que sin 35° es un solo número, alrededor de 0.5736, sea cual sea el tamaño del triángulo. Eso es lo que permite a una calculadora guardarlo. En el laboratorio, deja fijo θ y arrastra el deslizador de la hipotenusa: todas las longitudes cambian, las razones no.

Cargando

Arrastra para girar. Desplaza o pellizca para acercar.

Un triángulo rectángulo sobre una cuadrícula de cuadrados unidad. Arrastra el vértice superior o usa los deslizadores; elige sin, cos o tan para iluminar los dos lados de esa razón.

Una calculadora da estos valores directamente, pero comprueba que esté en grados (a menudo se indica como DEG). En modo radianes, sin 30 devuelve alrededor de −0.988 en lugar de 0.5, porque interpreta el 30 como 30 radianes. OpenStax también define tres razones recíprocas: secante = hipotenusa / adyacente, cosecante = hipotenusa / opuesto y cotangente = adyacente / opuesto. Son las tres primeras puestas del revés, así que este curso trabaja con el seno, el coseno y la tangente.

ContextoMacTutor sitúa el origen de la trigonometría en la astronomía. La primera tabla conocida fue una tabla de cuerdas, el segmento que corta un ángulo dado a través de un círculo, elaborada por el astrónomo griego Hiparco hacia el año 140 a. C. Sus tablas no se han conservado, pero se dice que escribió doce libros de ellas, y por eso MacTutor lo llama el fundador de la trigonometría. La palabra tangente llegó mucho después: el matemático danés Thomas Fincke la usó por primera vez en 1583.
  1. ¿Qué lado es la hipotenusa?
    • el lado opuesto al ángulo recto
    • el lado junto a θ
    • el lado opuesto a θ
    • el lado más corto
  2. Lados 5, 12, 13. El ángulo θ es opuesto al lado 5. ¿sin θ con 4 decimales?
  3. El mismo triángulo. ¿cos θ con 4 decimales?
  4. El mismo triángulo. ¿tan θ como fracción?
  5. Ejemplo de OpenStax: cateto adyacente 15, hipotenusa 17. ¿cos α?
  6. Un triángulo de lados 6, 8, 10 comparado con otro de lados 3, 4, 5. Para ángulos correspondientes, el seno es:
    • el mismo
    • el doble
    • la mitad
    • cuatro veces mayor
  7. Hipotenusa 6 y θ = 35°. ¿Longitud del cateto opuesto, con 2 decimales?
  8. ¿tan 35° con 4 decimales?
  9. sin 30 en una calculadora da −0.988. ¿Qué pasa?
    • está en modo radianes
    • tiene poca batería
    • el seno puede ser negativo
    • nada
  10. En un triángulo rectángulo, sin θ siempre está:
    • entre 0 y 1
    • por encima de 1
    • igual a tan θ
    • por debajo de cero
  11. Lados 3, 4, 5 con θ opuesto al 4. ¿sec θ = hipotenusa / adyacente?
Ideas clave
  • Hipotenusa: frente al ángulo recto. Opuesto y adyacente dependen de θ.
  • sin = op/hip, cos = ady/hip, tan = op/ady (SohCahToa).
  • Los triángulos semejantes dan las mismas razones, así que cada ángulo tiene un solo seno, coseno y tangente.
  • Pon la calculadora en grados.
  • sec, csc y cot son los recíprocos de cos, sin y tan.
Fuentes de este curso (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

Fecha de consulta: 2026-10-17