Radianes y la circunferencia unitaria

Coloca el radio de un círculo sobre su borde y el ángulo que abarca es un radián, unos 57.3°. Caben poco más de seis en toda la vuelta.

Medir ángulos con el radio

Los grados son una elección humana: 360 partes de una vuelta, un número heredado de la astronomía babilónica. Los radianes salen del propio círculo. OpenStax Precalculus define un radián como el ángulo central cuyo arco tiene la misma longitud que el radio. Como la longitud de la circunferencia es 2πr, caben exactamente 2π radios a su alrededor, así que una vuelta completa son 2π radianes. Eso fija la conversión: 2π rad = 360°, o π rad = 180°.

Para pasar de grados a radianes, multiplica por π/180; para volver, multiplica por 180/π. Así, 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6 y 90° = π/2, mientras que 2π/3 radianes son 2π/3 × 180/π = 120°. Un radián son 180/π ≈ 57.2958°. Los radianes simplifican la longitud de arco: un ángulo de θ radianes corta un arco de longitud s = rθ. En una circunferencia de radio 5 cm, 2 radianes cortan un arco de 10 cm. Con grados hay que convertir primero: 60° en una circunferencia de radio 10 cm son π/3 radianes, lo que da un arco de 10π/3 ≈ 10.47 cm.

La circunferencia unitaria

Un triángulo rectángulo solo tiene ángulos de hasta 90°, pero los giros van más allá. La circunferencia unitaria elimina ese límite. Es la circunferencia de radio 1 con centro en el origen. Empieza en el punto (1, 0) y gira en sentido antihorario un ángulo t. Precalculus define el coseno de t como la coordenada x del punto al que llegas y el seno de t como su coordenada y: (x, y) = (cos t, sin t). Para ángulos entre 0° y 90° esto coincide con el triángulo: el radio es una hipotenusa de longitud 1, así que el cateto horizontal es cos t y el vertical es sin t.

Pasados los 90°, las coordenadas toman signos. A 150°, el punto está arriba a la izquierda, así que cos 150° = −√3/2 y sin 150° = 1/2. A 180°, el punto es (−1, 0). En el tercer cuadrante las dos coordenadas son negativas, así que sin 210° = −1/2. La tangente es y/x, la pendiente del radio, y no existe en 90° ni en 270°, donde x = 0.

cos² + sin² = 1

Todo punto de la circunferencia unitaria está a distancia 1 del origen, así que x² + y² = 1. Sustituyendo x = cos t e y = sin t se obtiene cos²t + sin²t = 1, que Precalculus llama identidad pitagórica. Permite hallar un valor a partir del otro. Si sin t = 3/5 y el ángulo está en el segundo cuadrante, cos²t = 1 − 9/25 = 16/25 y, como ahí x es negativa, cos t = −4/5.

¿Para qué molestarse con los radianes? Porque dejan las fórmulas limpias. La longitud de arco s = rθ no lleva ningún factor π/180 suelto, y en cálculo la derivada de sin x es cos x solo cuando x está en radianes. Por eso la mayor parte de la ciencia y todos los cursos de cálculo trabajan en radianes, y los grados se quedan para los ángulos cotidianos, como los rumbos de una brújula o la inclinación de un tejado.