Radianos e o círculo trigonométrico

Coloque o raio de uma circunferência ao longo da sua borda e o ângulo que ele cobre é um radiano, cerca de 57.3°. Pouco mais de seis deles dão a volta na circunferência.

Medindo ângulos com o raio

Os graus são uma escolha humana: 360 partes de uma volta, um número herdado da astronomia babilônica. Os radianos vêm da própria circunferência. O OpenStax Precalculus define um radiano como o ângulo central cujo arco tem o mesmo comprimento do raio. Como o comprimento da circunferência é 2πr, cabem exatamente 2π raios em volta dela, então uma volta completa tem 2π radianos. Isso fixa a conversão: 2π rad = 360°, ou π rad = 180°.

Para passar de graus para radianos, multiplique por π/180; para voltar, multiplique por 180/π. Assim, 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6 e 90° = π/2, enquanto 2π/3 radianos é 2π/3 × 180/π = 120°. Um radiano é 180/π ≈ 57.2958°. Os radianos simplificam o comprimento do arco: um ângulo de θ radianos corta um arco de comprimento s = rθ. Numa circunferência de raio 5 cm, 2 radianos cortam um arco de 10 cm. Em graus, é preciso converter antes: 60° numa circunferência de raio 10 cm são π/3 radianos, o que dá um arco de 10π/3 ≈ 10.47 cm.

O círculo trigonométrico

Um triângulo retângulo só tem ângulos até 90°, mas as rotações vão além. O círculo trigonométrico tira esse limite. Ele é a circunferência de raio 1 com centro na origem. Comece no ponto (1, 0) e gire no sentido anti-horário um ângulo t. O Precalculus define o cosseno de t como a coordenada x do ponto a que você chega e o seno de t como a sua coordenada y: (x, y) = (cos t, sin t). Para ângulos entre 0° e 90°, isso coincide com o triângulo: o raio é uma hipotenusa de comprimento 1, então o cateto horizontal é cos t e o cateto vertical é sin t.

Passando de 90°, as coordenadas ganham sinais. Em 150°, o ponto fica em cima e à esquerda, então cos 150° = −√3/2 e sin 150° = 1/2. Em 180°, o ponto é (−1, 0). No terceiro quadrante as duas coordenadas são negativas, então sin 210° = −1/2. A tangente é y/x, a inclinação do raio, e não existe em 90° e 270°, onde x = 0.

cos² + sin² = 1

Todo ponto do círculo trigonométrico está à distância 1 da origem, então x² + y² = 1. Substituindo x = cos t e y = sin t, obtém-se cos²t + sin²t = 1, que o Precalculus chama de identidade pitagórica (relação fundamental). Ela permite achar um valor a partir do outro. Se sin t = 3/5 e o ângulo está no segundo quadrante, cos²t = 1 − 9/25 = 16/25 e, como x é negativo ali, cos t = −4/5.

Para que se dar ao trabalho de usar radianos? Porque eles deixam as fórmulas limpas. O comprimento do arco s = rθ não tem nenhum fator π/180 sobrando, e no cálculo a derivada de sin x é cos x só quando x está em radianos. Por isso a maior parte das ciências e todo curso de cálculo trabalham em radianos, e os graus ficam para ângulos do dia a dia, como rumos de bússola e caimentos de telhado.