Radianti e circonferenza goniometrica

Stendi il raggio di una circonferenza lungo il bordo e l'angolo che copre è un radiante, circa 57.3°. Ne servono poco più di sei per fare il giro.

Misurare gli angoli con il raggio

I gradi sono una scelta umana: 360 parti di un giro, un numero ereditato dall'astronomia babilonese. I radianti vengono dalla circonferenza stessa. OpenStax Precalculus definisce un radiante come l'angolo al centro il cui arco è lungo quanto il raggio. Poiché la circonferenza misura 2πr, attorno ci stanno esattamente 2π raggi, quindi un giro completo è 2π radianti. Questo fissa la conversione: 2π rad = 360°, cioè π rad = 180°.

Per passare da gradi a radianti moltiplica per π/180; per tornare indietro moltiplica per 180/π. Quindi 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6 e 90° = π/2, mentre 2π/3 radianti sono 2π/3 × 180/π = 120°. Un radiante è 180/π ≈ 57.2958°. I radianti rendono semplice la lunghezza dell'arco: un angolo di θ radianti taglia un arco di lunghezza s = rθ. Su una circonferenza di raggio 5 cm, 2 radianti tagliano un arco di 10 cm. Con i gradi devi prima convertire: 60° su una circonferenza di raggio 10 cm sono π/3 radianti, e danno un arco di 10π/3 ≈ 10.47 cm.

La circonferenza goniometrica

Un triangolo rettangolo ha solo angoli fino a 90°, ma le rotazioni vanno oltre. La circonferenza goniometrica toglie il limite. È la circonferenza di raggio 1 con centro nell'origine. Parti dal punto (1, 0) e ruota in senso antiorario di un angolo t. Precalculus definisce il coseno di t come l'ascissa del punto a cui arrivi e il seno di t come la sua ordinata: (x, y) = (cos t, sin t). Per angoli tra 0° e 90° questo coincide con il triangolo: il raggio è un'ipotenusa di lunghezza 1, quindi il cateto orizzontale è cos t e quello verticale è sin t.

Oltre i 90° le coordinate prendono un segno. A 150° il punto è in alto a sinistra, quindi cos 150° = −√3/2 e sin 150° = 1/2. A 180° il punto è (−1, 0). Nel terzo quadrante entrambe le coordinate sono negative, quindi sin 210° = −1/2. La tangente è y/x, la pendenza del raggio, e non esiste a 90° e a 270°, dove x = 0.

cos² + sin² = 1

Ogni punto della circonferenza goniometrica dista 1 dall'origine, quindi x² + y² = 1. Sostituendo x = cos t e y = sin t si ottiene cos²t + sin²t = 1, che Precalculus chiama identità pitagorica (in Italia, relazione fondamentale della goniometria). Permette di trovare un valore dall'altro. Se sin t = 3/5 e l'angolo è nel secondo quadrante, cos²t = 1 − 9/25 = 16/25 e, poiché lì x è negativa, cos t = −4/5.

Perché preoccuparsi dei radianti? Perché rendono pulite le formule. La lunghezza dell'arco s = rθ non ha nessun fattore π/180 di troppo, e nell'analisi la derivata di sin x è cos x solo quando x è in radianti. Per questo quasi tutta la scienza e ogni corso di analisi lavorano in radianti, mentre i gradi restano per gli angoli di tutti i giorni, come le direzioni della bussola e le pendenze dei tetti.