라디안과 단위원

원의 반지름을 둘레에 그대로 얹었을 때 그 호가 만드는 각이 1라디안, 약 57.3°입니다. 원을 한 바퀴 도는 데 여섯 개 남짓이 들어갑니다.

반지름으로 각 재기

도는 사람이 고른 단위입니다. 한 바퀴를 360으로 나눈 것이고, 그 수는 바빌로니아 천문학에서 물려받았습니다. 라디안은 원 자체에서 나옵니다. OpenStax 「Precalculus」는 호의 길이가 반지름과 같은 중심각을 1라디안으로 정의합니다. 원의 둘레는 2πr이므로 반지름 길이가 정확히 2π개 들어가고, 한 바퀴는 2π라디안입니다. 이것으로 환산이 정해집니다. 2π rad = 360°이고, 반으로 나누면 π rad = 180°입니다.

도를 라디안으로 바꿀 때는 π/180을 곱하고, 되돌릴 때는 180/π를 곱합니다. 그래서 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6, 90° = π/2이고, 2π/3라디안은 2π/3 × 180/π = 120°입니다. 1라디안은 180/π ≈ 57.2958°입니다. 라디안을 쓰면 호의 길이가 간단해집니다. θ라디안인 각은 길이 s = rθ인 호를 자릅니다. 반지름 5 cm인 원에서 2라디안은 10 cm짜리 호를 만듭니다. 도로 주어지면 먼저 바꿔야 합니다. 반지름 10 cm인 원에서 60°는 π/3라디안이므로 호의 길이는 10π/3 ≈ 10.47 cm입니다.

단위원

직각삼각형의 각은 90°까지만 있지만 회전은 그보다 더 갈 수 있습니다. 단위원이 이 한계를 없앱니다. 단위원은 원점을 중심으로 하는 반지름 1인 원입니다. 점 (1, 0)에서 출발해 시계 반대 방향으로 각 t만큼 돕니다. 「Precalculus」는 도착한 점의 x좌표를 t의 코사인, y좌표를 t의 사인으로 정의합니다. (x, y) = (cos t, sin t). 0°와 90° 사이에서는 삼각형의 정의와 같습니다. 반지름이 길이 1인 빗변이므로 가로 다리가 cos t, 세로 다리가 sin t입니다.

90°를 넘으면 좌표에 부호가 붙습니다. 150°에서 점은 왼쪽 위에 있으므로 cos 150° = −√3/2, sin 150° = 1/2입니다. 180°에서 점은 (−1, 0)입니다. 제3사분면에서는 두 좌표가 모두 음수라서 sin 210° = −1/2입니다. 탄젠트는 y/x로 반지름의 기울기이며, x = 0인 90°와 270°에서는 정의되지 않습니다.

cos² + sin² = 1

단위원 위의 모든 점은 원점에서 거리가 1이므로 x² + y² = 1입니다. x = cos t, y = sin t를 넣으면 cos²t + sin²t = 1이 되고, 「Precalculus」는 이것을 피타고라스 항등식이라고 부릅니다. 한 값으로 다른 값을 구할 수 있습니다. sin t = 3/5이고 각이 제2사분면에 있으면 cos²t = 1 − 9/25 = 16/25이고, 그곳에서 x는 음수이므로 cos t = −4/5입니다.

굳이 라디안을 쓰는 이유는 공식이 깔끔해지기 때문입니다. 호의 길이 s = rθ에는 π/180 같은 군더더기가 붙지 않고, 미적분에서 sin x의 도함수가 cos x가 되는 것도 x가 라디안일 때뿐입니다. 그래서 과학의 대부분과 모든 미적분 수업은 라디안을 쓰고, 도는 나침반 방위나 지붕 기울기 같은 일상의 각에 남아 있습니다.