30°, 45°, 60°의 삼각비

정사각형을 대각선으로 접으면 sin 45°의 정확한 값이 나옵니다. 한 변을 대각선으로 나눈 1/√2, 약 0.7071입니다.

45°-45°-90° 삼각형

대부분의 사인과 코사인 값은 긴 소수이지만, 정확하게 쓸 수 있는 각이 셋 있고 이 각들은 기하, 물리, 디자인에서 끊임없이 나옵니다. 첫째는 한 변이 1인 정사각형에서 나옵니다. 대각선이 정사각형을 각이 45°, 45°, 90°인 직각삼각형 두 개로 자릅니다. 두 다리는 모두 1이고 피타고라스 정리로 빗변은 √(1² + 1²) = √2입니다. OpenStax는 일반적인 꼴을 이렇게 씁니다. 45°-45°-90° 삼각형의 세 변은 s, s, √2 s의 관계에 있습니다.

이 삼각형에서 비를 읽으면 sin 45° = 1/√2, cos 45° = 1/√2입니다. 분자와 분모에 √2를 곱하면 더 깔끔한 꼴인 √2/2가 되고 약 0.7071입니다. 두 다리가 같으므로 tan 45° = 1/1 = 1입니다. 가로로 1 갈 때 1 올라가는 지붕이나 경사로는 기울기가 45°입니다.

30°-60°-90° 삼각형

둘째 삼각형은 한 변이 2인 정삼각형에서 나옵니다. 세 각이 모두 60°입니다. 꼭대기에서 밑변 한가운데로 수직선을 내리면 각이 30°, 60°, 90°인 직각삼각형 두 개로 나뉩니다. 각 삼각형의 빗변은 2이고, 짧은 변은 밑변의 절반인 1입니다. 높이 쪽 변은 √(2² − 1²) = √3입니다. OpenStax는 이 꼴을 s, √3 s, 2s로 쓰며, 짧은 변은 30°의 맞은편, 긴 다리는 60°의 맞은편에 있습니다.

30°에서 보면 대변이 1, 이웃변이 √3이므로 sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660, tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774입니다. 60°에서는 두 다리의 역할이 바뀌어 sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tan 60° = √3 ≈ 1.7321입니다.

여각의 삼각비

sin 30°와 cos 60°가 같고, sin 60°와 cos 30°가 같다는 것을 눈치챘을 것입니다. 우연이 아닙니다. 직각삼각형의 두 예각은 합이 90°이고, 한 각의 대변은 다른 각의 이웃변입니다. 그래서 어떤 각의 사인은 언제나 그 여각의 코사인과 같습니다. sin θ = cos(90° − θ). OpenStax는 이것을 여함수 항등식이라고 부릅니다. 계산하지 않아도 cos 34°와 sin 56°가 같은 수라는 뜻입니다.

정확한 값을 알아 두면 좋은 이유는 두 가지입니다. 계산기 없이 문제를 끝낼 수 있고, 답을 정확한 꼴로 남길 수 있습니다. 짧은 변이 5인 30°-60°-90° 삼각형의 긴 다리는 정확히 5√3이고, 8.66은 이미 반올림한 값입니다. 이 두 삼각형은 제도용 삼각자 두 개의 모양이기도 합니다. 하나는 45° 모서리, 다른 하나는 30°와 60° 모서리를 가지고 있고, 그래서 도면에 이 각들이 그렇게 자주 나옵니다.