Nilai eksak untuk 30°, 45°, dan 60°

Lipat sebuah persegi sepanjang diagonalnya dan kamu mendapat nilai eksak sin 45°: satu sisi dibagi diagonal, 1/√2, kira-kira 0.7071.

Segitiga 45-45-90

Kebanyakan nilai sinus dan kosinus berupa desimal panjang, tetapi tiga sudut punya nilai yang bisa ditulis secara eksak, dan sudut-sudut itu terus muncul dalam geometri, fisika, dan desain. Yang pertama berasal dari persegi dengan sisi 1. Diagonalnya memotong persegi menjadi dua segitiga siku-siku dengan sudut 45°, 45°, dan 90°. Kedua sisi siku-sikunya 1, dan menurut teorema Pythagoras sisi miringnya √(1² + 1²) = √2. OpenStax menyatakan pola umumnya: sisi-sisi segitiga 45-45-90 berbanding s, s, √2 s.

Membaca perbandingan dari segitiga ini: sin 45° = 1/√2 dan cos 45° = 1/√2. Mengalikan pembilang dan penyebut dengan √2 menghasilkan bentuk yang lebih rapi √2/2, kira-kira 0.7071. Kedua sisi siku-sikunya sama, jadi tan 45° = 1/1 = 1. Atap atau landaian yang naik 1 untuk setiap 1 mendatar memiliki kemiringan 45°.

Segitiga 30-60-90

Segitiga kedua berasal dari segitiga sama sisi dengan sisi 2. Semua sudutnya 60°. Tarik garis dari puncak lurus ke bawah ke tengah alas: garis itu membagi segitiga menjadi dua segitiga siku-siku dengan sudut 30°, 60°, dan 90°. Masing-masing memiliki sisi miring 2 dan sisi pendek 1, setengah dari alas. Sisi yang tinggi adalah √(2² − 1²) = √3. OpenStax memberikan pola s, √3 s, 2s, dengan sisi pendek di depan 30° dan sisi siku-siku panjang di depan 60°.

Dari 30°, sisi depannya 1 dan sisi sampingnya √3, jadi sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660, dan tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. Dari 60°, kedua sisi siku-siku bertukar peran: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, dan tan 60° = √3 ≈ 1.7321.

Kofungsi

Perhatikan bahwa sin 30° sama dengan cos 60°, dan sin 60° sama dengan cos 30°. Itu bukan kebetulan. Kedua sudut lancip segitiga siku-siku berjumlah 90°, dan sisi di depan salah satunya adalah sisi samping bagi yang lain. Jadi sinus suatu sudut selalu sama dengan kosinus penyikunya: sin θ = cos(90° − θ). OpenStax menyebutnya identitas kofungsi. Artinya cos 34° dan sin 56° adalah bilangan yang sama tanpa perlu menghitung.

Nilai eksak penting diketahui karena dua alasan. Nilai itu memungkinkanmu menyelesaikan soal tanpa kalkulator, dan menjaga jawaban tetap eksak: segitiga 30-60-90 dengan sisi pendek 5 memiliki sisi siku-siku panjang 5√3, nilai yang persis, sedangkan 8.66 sudah dibulatkan. Kedua segitiga yang sama ini adalah bentuk dua penggaris segitiga dalam satu set alat geometri, satu dengan sudut 45° dan satu dengan sudut 30° dan 60°, itulah sebabnya gambar teknik begitu sering memakai sudut-sudut ini.