edubun
Bahasa Indonesia
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Beranda›Geometri dan gambar›Trigonometri

Mengukur tinggi dengan sudut dan bayangan

Berdirilah 30 m dari sebuah pohon, lihat puncaknya dengan sudut 40°, dan pohon itu kira-kira 25.2 m lebih tinggi dari matamu. Tanpa tangga, tanpa meteran yang ditarik ke atas batang.

Sudut elevasi dan sudut depresi

OpenStax mendefinisikan sudut elevasi sebagai sudut antara garis mendatar dan garis pandangmu ketika kamu melihat ke atas ke suatu benda. Saat melihat ke bawah dari tempat tinggi, sudut antara garis mendatar dan garis pandang adalah sudut depresi. Keduanya diukur dari garis mendatar, tidak pernah dari garis tegak. Juru ukur mengukurnya dengan alat di atas tripod. Untuk tugas sekolah, busur derajat dengan tali berpemberat atau aplikasi ponsel sudah cukup.

α adalah sudut elevasi, diukur ke atas dari garis mendatar setinggi mata. β adalah sudut depresi, diukur ke bawah dari garis mendatar di puncak. Kedua garis putus-putus itu mendatar.

Tinggi dari satu sudut

Berjalanlah sejauh d yang sudah diukur dari kaki sebuah pohon, lalu ukur sudut elevasi θ ke puncaknya. Garis mendatar dari matamu, batang pohon yang tegak, dan garis pandangmu membentuk segitiga siku-siku. Jarak d adalah sisi samping θ dan tinggi di atas matamu adalah sisi depan, jadi tangen menghubungkan keduanya: tinggi di atas mata = d tan θ. OpenStax mengerjakan ini dengan pohon yang berjarak 30 kaki pada sudut 57°, hasilnya kira-kira 46.2 kaki. Jangan lupa tinggi matamu sendiri. Pada jarak 30 m dan sudut 40°, dengan mata 1.5 m di atas tanah, tinggi pohon itu 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m.

Memuat

Seret untuk memutar. Gulir atau cubit untuk memperbesar.

Sebuah menara setinggi 24 m. Seret, atau geser penggeser sudut, sampai garis pandang tepat mengenai puncaknya; perkiraan 1.5 + d tan θ lalu cocok dengan menara. Ubah Metode ke Bayangan untuk cara Thales.

Melihat ke bawah

Dari jendela 12 m di atas jalan, kamu melihat mobil yang diparkir dengan sudut depresi 25°. Garis mendatar di jendela dan jalan itu sejajar, dan garis pandangmu memotong keduanya, jadi sudut depresi sama dengan sudut elevasi dari mobil ke arahmu: keduanya sudut dalam berseberangan. Karena itu, mobil berjarak 12 / tan 25° ≈ 25.73 m dari kaki gedung. Dengan dua sudut dari satu jendela, kamu bisa mengukur seluruh menara di seberang jalan. Jika menara itu berjarak 50 m, sudut elevasi ke puncaknya 30°, dan sudut depresi ke kakinya 20°, tinggi menara itu 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m.

Bayangan

Latar belakangMacTutor mengumpulkan kisah-kisah lama tentang cara Thales dari Miletos mengukur tinggi sebuah piramida Mesir. Diogenes Laertios, yang menulis pada abad ke-2 M, mengutip Hieronymos, murid Aristoteles: Thales mengukur piramida dari bayangannya pada saat bayangan kita sama dengan tinggi badan kita sendiri. Plutarkhos menceritakan versi yang lebih dekat dengan geometri. Thales menancapkan tongkat di ujung bayangan piramida dan, dengan dua segitiga yang dibentuk sinar matahari, menunjukkan bahwa perbandingan piramida dengan tongkat sama dengan perbandingan bayangan piramida dengan bayangan tongkat. MacTutor menambahkan bahwa kisah-kisah ini ditulis berabad-abad setelah Thales hidup.

Kedua versi itu berhasil karena matahari begitu jauh sehingga sinarnya datang sejajar. Akibatnya, setiap benda tegak memiliki perbandingan tinggi terhadap bayangan yang sama, yaitu tangen sudut elevasi matahari. Jika tongkat 1 m membentuk bayangan 1.6 m dan sebuah menara membentuk bayangan 40 m pada saat yang sama, tinggi menara itu 40 × 1/1.6 = 25 m. Pada saat istimewa ketika matahari setinggi 45°, tan 45° = 1 dan setiap bayangan tepat sepanjang bendanya: itulah versi pertama kisah tadi.

  1. Kamu berdiri 30 m dari sebuah pohon dengan mata setinggi 1.5 m dan melihat puncaknya pada sudut 40°. Berapa tinggi pohon itu, sampai 2 tempat desimal?
  2. OpenStax: sebuah pohon berjarak 30 kaki, sudut elevasi 57° diukur dari tanah. Berapa tingginya, sampai 1 tempat desimal?
  3. Di laboratorium: menara 24 m, d = 30 m, mata setinggi 1.5 m. Sudut dalam derajat bulat mana yang paling tepat mengenai puncaknya?
  4. Dari jendela setinggi 12 m, sebuah mobil terlihat dengan sudut depresi 25°. Berapa jaraknya dari gedung, sampai 2 tempat desimal?
  5. Mengapa sudut depresi dari jendela sama dengan sudut elevasi dari mobil?
    • keduanya sudut dalam berseberangan di antara dua garis sejajar
    • keduanya sudut bertolak belakang
    • keduanya saling berpenyiku
    • gedungnya tinggi
  6. Menara berjarak 50 m: sudut elevasi ke puncak 30°, sudut depresi ke kaki 20°. Berapa tingginya, sampai 2 tempat desimal?
  7. Tongkat 1 m membentuk bayangan 1.6 m; sebuah menara membentuk bayangan 40 m. Berapa tinggi menara itu?
  8. Pada saat yang sama. Berapa sudut elevasi matahari, sampai 1 tempat desimal?
  9. Pada sudut elevasi matahari berapa setiap bayangan sama panjang dengan bendanya?
  10. Sudut elevasi diukur dari:
    • garis mendatar
    • garis tegak
    • tanah di bawah benda
    • garis pandang
  11. Ketika matahari makin rendah di langit, bayangan:
    • makin panjang
    • makin pendek
    • tetap sama
    • menghilang
Poin penting
  • Sudut elevasi dan depresi diukur dari garis mendatar.
  • Tinggi di atas mata = d tan θ; tambahkan tinggi mata.
  • Sudut depresi dari atas = sudut elevasi dari bawah (sudut dalam berseberangan).
  • Bayangan: tinggi / bayangan sama untuk setiap benda pada satu saat; pada 45° keduanya sama.
Sumber kursus ini (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

Diperiksa: 2026-10-17