Medindo alturas com ângulos e sombras

Fique a 30 m de uma árvore, olhe 40° para cima até o topo, e a árvore tem cerca de 25.2 m a mais que a altura dos seus olhos. Sem escada, sem trena subindo pelo tronco.

Ângulos de elevação e de depressão

O OpenStax define o ângulo de elevação como o ângulo entre a horizontal e a sua linha de visada quando você olha para cima, para alguma coisa. Olhando para baixo de um lugar alto, o ângulo entre a horizontal e a linha de visada é o ângulo de depressão. Os dois são medidos a partir da horizontal, nunca da vertical. Os topógrafos os medem com um instrumento num tripé; para um trabalho de escola, um transferidor com um fio e um peso, ou um aplicativo de celular, funciona.

A altura a partir de um ângulo

Ande uma distância medida d a partir do pé de uma árvore e meça o ângulo de elevação θ até o topo. A linha horizontal que sai do seu olho, o tronco vertical e a sua linha de visada formam um triângulo retângulo. A distância d é o cateto adjacente a θ, a altura acima do olho é o cateto oposto, então a tangente os liga: altura acima do olho = d tan θ. O OpenStax faz isso com uma árvore a 30 pés de distância e 57°, o que dá cerca de 46.2 pés. Não esqueça a altura dos seus próprios olhos. A 30 m e 40°, com os olhos a 1.5 m do chão, a árvore tem 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m de altura.

Olhando para baixo

De uma janela a 12 m acima da rua, você vê um carro estacionado sob um ângulo de depressão de 25°. A linha horizontal da janela e a rua são paralelas, e a sua linha de visada corta as duas, então o ângulo de depressão é igual ao ângulo de elevação do carro até você: eles são alternos internos. O carro está, portanto, a 12 / tan 25° ≈ 25.73 m do pé do prédio. Com dois ângulos medidos de uma mesma janela, você consegue medir uma torre inteira do outro lado da rua. Se ela está a 50 m, a elevação até o topo é 30° e a depressão até o pé é 20°, a torre tem 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m de altura.

Sombras

As duas versões funcionam porque o sol está tão longe que seus raios chegam paralelos. Então todo objeto em pé tem a mesma razão entre altura e sombra, que é a tangente da elevação do sol. Se uma vara de 1 m faz uma sombra de 1.6 m e uma torre faz uma sombra de 40 m no mesmo instante, a torre tem 40 × 1/1.6 = 25 m de altura. No momento especial em que o sol está a 45°, tan 45° = 1 e toda sombra tem exatamente o comprimento do objeto: a primeira versão da história.