Medir alturas con ángulos y sombras

Ponte a 30 m de un árbol, mira hacia arriba con 40° hasta su copa y el árbol estará unos 25.2 m por encima de tus ojos. Sin escalera y sin cinta métrica por el tronco.

Ángulos de elevación y de depresión

OpenStax define el ángulo de elevación como el ángulo entre la horizontal y tu línea de visión cuando miras algo hacia arriba. Al mirar hacia abajo desde una altura, el ángulo entre la horizontal y la línea de visión es el ángulo de depresión. Los dos se miden desde la horizontal, nunca desde la vertical. Los topógrafos los miden con un instrumento sobre un trípode; para un trabajo escolar sirve un transportador con un hilo con peso, o una aplicación del teléfono.

La altura a partir de un ángulo

Camina una distancia medida d desde el pie de un árbol y mide el ángulo de elevación θ hasta su copa. La línea horizontal desde tu ojo, el tronco vertical y tu línea de visión forman un triángulo rectángulo. La distancia d es el cateto adyacente a θ y la altura por encima de tu ojo es el opuesto, así que los relaciona la tangente: altura sobre el ojo = d tan θ. OpenStax lo resuelve con un árbol a 30 pies y 57°, lo que da unos 46.2 pies. No olvides la altura de tus propios ojos. A 30 m y 40°, con los ojos a 1.5 m del suelo, el árbol mide 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m.

Mirar hacia abajo

Desde una ventana a 12 m sobre la calle ves un coche aparcado con un ángulo de depresión de 25°. La línea horizontal de la ventana y la calle son paralelas, y tu línea de visión corta a las dos, así que el ángulo de depresión es igual al ángulo de elevación desde el coche hasta ti: son ángulos alternos internos. Por tanto, el coche está a 12 / tan 25° ≈ 25.73 m del pie del edificio. Con dos ángulos desde una misma ventana puedes medir una torre entera al otro lado de la calle. Si está a 50 m, la elevación hasta su punta es de 30° y la depresión hasta su pie es de 20°, la torre mide 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m.

Sombras

Las dos versiones funcionan porque el sol está tan lejos que sus rayos llegan paralelos. Entonces todo objeto vertical tiene la misma razón entre altura y sombra, que es la tangente de la elevación del sol. Si un palo de 1 m proyecta una sombra de 1.6 m y una torre proyecta una sombra de 40 m en el mismo momento, la torre mide 40 × 1/1.6 = 25 m. En el momento especial en que el sol está a 45° de altura, tan 45° = 1 y cada sombra es exactamente tan larga como su objeto: la primera versión de la historia.