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Start›Geometrie und Zeichnungen›Trigonometrie

Höhen mit Winkeln und Schatten messen

Stell dich 30 m von einem Baum entfernt hin, blick unter 40° zu seiner Spitze hinauf, und der Baum ist etwa 25.2 m höher als deine Augen. Keine Leiter, kein Maßband am Stamm.

Höhenwinkel und Tiefenwinkel

OpenStax definiert den Höhenwinkel als den Winkel zwischen der Waagerechten und deiner Sichtlinie, wenn du zu etwas hinaufschaust. Schaust du von oben hinunter, ist der Winkel zwischen der Waagerechten und der Sichtlinie der Tiefenwinkel. Beide werden von der Waagerechten aus gemessen, nie von der Senkrechten. Vermesser messen sie mit einem Instrument auf einem Stativ; für ein Schulprojekt genügt ein Winkelmesser mit einem beschwerten Faden oder eine Handy-App.

α ist ein Höhenwinkel, am Auge von der Waagerechten nach oben gemessen. β ist ein Tiefenwinkel, an der Spitze von der Waagerechten nach unten gemessen. Beide gestrichelten Linien sind waagerecht.

Höhe aus einem Winkel

Geh eine gemessene Strecke d vom Fuß eines Baumes weg und miss den Höhenwinkel θ zu seiner Spitze. Die waagerechte Linie von deinem Auge, der senkrechte Stamm und deine Sichtlinie bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Die Strecke d ist die Ankathete von θ, die Höhe über deinem Auge die Gegenkathete, also verbindet der Tangens beide: Höhe über dem Auge = d tan θ. OpenStax rechnet das mit einem Baum in 30 Fuß Entfernung bei 57° und erhält etwa 46.2 Fuß. Vergiss deine eigene Augenhöhe nicht. Bei 30 m und 40°, mit den Augen 1.5 m über dem Boden, ist der Baum 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m hoch.

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Zum Drehen ziehen. Zum Zoomen scrollen oder mit zwei Fingern ziehen.

Ein 24 m hoher Turm. Zieh oder beweg den Winkelregler, bis die Sichtlinie die Spitze gerade trifft; dann stimmt die Schätzung 1.5 + d tan θ mit dem Turm überein. Stell „Methode“ auf „Schatten“, um es wie Thales zu machen.

Nach unten schauen

Aus einem Fenster 12 m über der Straße siehst du ein parkendes Auto unter einem Tiefenwinkel von 25°. Die waagerechte Linie am Fenster und die Straße sind parallel, und deine Sichtlinie schneidet beide, also ist der Tiefenwinkel gleich dem Höhenwinkel vom Auto zu dir hinauf: Es sind innere Wechselwinkel. Das Auto ist also 12 / tan 25° ≈ 25.73 m vom Fuß des Gebäudes entfernt. Mit zwei Winkeln von einem Fenster aus kannst du einen ganzen Turm auf der anderen Straßenseite vermessen. Ist er 50 m entfernt, beträgt der Höhenwinkel zu seiner Spitze 30° und der Tiefenwinkel zu seinem Fuß 20°, dann ist der Turm 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m hoch.

Schatten

HintergrundMacTutor sammelt die alten Berichte darüber, wie Thales von Milet die Höhe einer ägyptischen Pyramide gemessen hat. Diogenes Laertios, der im zweiten Jahrhundert n. Chr. schrieb, zitiert Hieronymos, einen Schüler des Aristoteles: Thales habe die Pyramiden an ihrem Schatten gemessen, in dem Moment, in dem unsere Schatten so lang sind wie wir selbst. Plutarch erzählt eine Fassung, die näher an der Geometrie liegt. Thales stellte einen Stab an die Spitze des Pyramidenschattens und zeigte mit den beiden Dreiecken, die die Sonnenstrahlen bilden, dass sich die Pyramide zum Stab verhält wie der Schatten der Pyramide zum Schatten des Stabes. MacTutor ergänzt, dass diese Geschichten Jahrhunderte nach Thales' Lebzeiten aufgeschrieben wurden.

Beide Fassungen funktionieren, weil die Sonne so weit weg ist, dass ihre Strahlen parallel ankommen. Jeder aufrechte Gegenstand hat dann dasselbe Verhältnis von Höhe zu Schatten, und das ist der Tangens der Sonnenhöhe. Wirft ein 1 m langer Stab einen 1.6 m langen Schatten und ein Turm im selben Moment einen 40 m langen Schatten, ist der Turm 40 × 1/1.6 = 25 m hoch. In dem besonderen Moment, in dem die Sonne 45° hoch steht, ist tan 45° = 1, und jeder Schatten ist genau so lang wie sein Gegenstand: die erste Fassung der Geschichte.

  1. Du stehst 30 m von einem Baum entfernt, deine Augen sind 1.5 m hoch, und du siehst seine Spitze unter 40°. Höhe des Baumes auf 2 Nachkommastellen?
  2. OpenStax: ein Baum in 30 ft Entfernung, Höhenwinkel 57° vom Boden aus gemessen. Höhe auf 1 Nachkommastelle?
  3. Im Labor: Turm 24 m, d = 30 m, Augen auf 1.5 m. Welcher ganzzahlige Winkel trifft die Spitze am genauesten?
  4. Aus einem Fenster 12 m über dem Boden sieht man ein Auto unter einem Tiefenwinkel von 25°. Sein Abstand vom Gebäude auf 2 Nachkommastellen?
  5. Warum ist der Tiefenwinkel vom Fenster gleich dem Höhenwinkel vom Auto aus?
    • es sind innere Wechselwinkel an parallelen Geraden
    • es sind Scheitelwinkel
    • es sind Komplementwinkel
    • das Gebäude ist hoch
  6. Turm in 50 m Entfernung: Höhenwinkel zur Spitze 30°, Tiefenwinkel zum Fuß 20°. Höhe auf 2 Nachkommastellen?
  7. Ein 1 m langer Stab wirft einen 1.6 m langen Schatten; ein Turm wirft einen 40 m langen Schatten. Höhe des Turms?
  8. Derselbe Moment. Sonnenhöhe auf 1 Nachkommastelle?
  9. Bei welcher Sonnenhöhe ist jeder Schatten so lang wie sein Gegenstand?
  10. Ein Höhenwinkel wird gemessen von:
    • der Waagerechten
    • der Senkrechten
    • dem Boden am Gegenstand
    • der Sichtlinie
  11. Je tiefer die Sonne am Himmel steht, desto:
    • länger werden die Schatten
    • kürzer werden die Schatten
    • gleicher bleiben die Schatten
    • eher verschwinden die Schatten
Das Wichtigste
  • Höhen- und Tiefenwinkel werden von der Waagerechten aus gemessen.
  • Höhe über dem Auge = d tan θ; die Augenhöhe addieren.
  • Tiefenwinkel von oben = Höhenwinkel von unten (innere Wechselwinkel).
  • Schatten: Höhe / Schatten ist im selben Moment für jeden Gegenstand gleich; bei 45° sind beide gleich lang.
Quellen zu diesem Kurs (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

Abgerufen: 2026-10-17