edubun
Русский
English한국어EspañolPortuguêsFrançaisDeutschItalianoРусскийBahasa Indonesia日本語
Главная›Геометрия и чертежи›Тригонометрия

Измерение высоты по углам и теням

Встань в 30 м от дерева, посмотри вверх на его верхушку под углом 40°, и окажется, что дерево примерно на 25.2 м выше уровня твоих глаз. Без лестницы и без рулетки по стволу.

Углы возвышения и понижения

OpenStax определяет угол возвышения как угол между горизонталью и линией взгляда, когда ты смотришь на что-то вверх. Если смотреть вниз с высоты, угол между горизонталью и линией взгляда называется углом понижения. Оба угла отсчитывают от горизонтали, а не от вертикали. Геодезисты измеряют их прибором на штативе; для школьного проекта подойдёт транспортир с отвесом на нитке или приложение в телефоне.

α является углом возвышения: его отсчитывают вверх от горизонтали на уровне глаз. β является углом понижения: его отсчитывают вниз от горизонтали наверху. Обе пунктирные линии горизонтальны.

Высота по одному углу

Отойди на измеренное расстояние d от основания дерева и измерь угол возвышения θ до его верхушки. Горизонтальная линия от глаза, вертикальный ствол и линия взгляда образуют прямоугольный треугольник. Расстояние d является катетом, прилежащим к θ, высота над глазами является противолежащим катетом, поэтому их связывает тангенс: высота над глазами = d tg θ. В OpenStax разобран пример с деревом в 30 футах и углом 57°, получается около 46.2 фута. Не забудь про высоту своих глаз. При 30 м и 40°, если глаза на 1.5 м выше земли, высота дерева равна 1.5 + 30 tg 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 м.

Загрузка

Перетащи, чтобы повернуть. Колёсико или щипок для масштаба.

Башня высотой 24 м. Перетаскивай точку или двигай ползунок угла, пока линия взгляда не коснётся верхушки; тогда оценка 1.5 + d tg θ совпадёт с башней. Переключи «Способ» на «Тени», чтобы увидеть способ Фалеса.

Взгляд вниз

Из окна на высоте 12 м над улицей ты видишь припаркованную машину под углом понижения 25°. Горизонтальная линия у окна и улица параллельны, а линия взгляда пересекает обе, поэтому угол понижения равен углу возвышения от машины до тебя: это накрест лежащие внутренние углы. Значит, машина стоит в 12 / tg 25° ≈ 25.73 м от основания здания. Двумя углами из одного окна можно измерить целую башню на другой стороне улицы. Если она в 50 м, угол возвышения до её верхушки 30°, а угол понижения до основания 20°, то высота башни равна 50 tg 30° + 50 tg 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 м.

Тени

КонтекстMacTutor собирает старые рассказы о том, как Фалес Милетский измерил высоту египетской пирамиды. Диоген Лаэртский, писавший во 2 веке н. э., приводит слова Иеронима, ученика Аристотеля: Фалес измерил пирамиды по их тени в тот момент, когда наши тени равны нашему росту. Плутарх передаёт версию, более близкую к геометрии. Фалес поставил палку у конца тени пирамиды и с помощью двух треугольников, образованных солнечными лучами, показал, что пирамида так относится к палке, как тень пирамиды к тени палки. MacTutor добавляет, что эти истории записаны через века после жизни Фалеса.

Обе версии работают потому, что Солнце так далеко, что его лучи приходят параллельно. Тогда у любого вертикального предмета отношение высоты к тени одинаково, и оно равно тангенсу высоты Солнца. Если палка длиной 1 м отбрасывает тень 1.6 м, а башня в тот же момент отбрасывает тень 40 м, высота башни равна 40 × 1/1.6 = 25 м. В особый момент, когда Солнце стоит на высоте 45°, tg 45° = 1, и каждая тень ровно такой же длины, как её предмет: это первая версия истории.

  1. Ты стоишь в 30 м от дерева, глаза на высоте 1.5 м, верхушку видно под углом 40°. Высота дерева с точностью до 2 знаков после точки?
  2. OpenStax: дерево в 30 футах, угол возвышения 57° измерен от земли. Высота с точностью до 1 знака после точки?
  3. В лаборатории: башня 24 м, d = 30 м, глаза на высоте 1.5 м. Какой угол в целых градусах точнее всего попадает в верхушку?
  4. Из окна на высоте 12 м машину видно под углом понижения 25°. Расстояние от неё до здания с точностью до 2 знаков после точки?
  5. Почему угол понижения из окна равен углу возвышения от машины?
    • это накрест лежащие внутренние углы при параллельных прямых
    • это вертикальные углы
    • это дополнительные углы
    • здание высокое
  6. Башня в 50 м: угол возвышения до верхушки 30°, угол понижения до основания 20°. Высота с точностью до 2 знаков после точки?
  7. Палка длиной 1 м отбрасывает тень 1.6 м; башня отбрасывает тень 40 м. Высота башни?
  8. Тот же момент. Высота Солнца с точностью до 1 знака после точки?
  9. При какой высоте Солнца каждая тень равна по длине своему предмету?
  10. Угол возвышения отсчитывают от:
    • горизонтали
    • вертикали
    • земли у предмета
    • линии взгляда
  11. Когда Солнце опускается ниже, тени:
    • становятся длиннее
    • становятся короче
    • не меняются
    • исчезают
Главное
  • Углы возвышения и понижения отсчитывают от горизонтали.
  • Высота над глазами = d tg θ; прибавь высоту глаз.
  • Угол понижения сверху = угол возвышения снизу (накрест лежащие внутренние углы).
  • Тени: в один момент отношение высоты к тени одинаково для всех предметов; при 45° они равны.
Источники курса (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

Проверено: 2026-10-17