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ホーム›図形と作図›三角比

角と影で高さを測る

木から 30 m 離れて立ち、てっぺんを 40° 見上げれば、木は目の高さより約 25.2 m 高いことがわかります。はしごも、幹に沿わせる巻き尺もいりません。

仰角と俯角

OpenStax は、何かを見上げたときの水平線と視線の間の角を仰角と定義しています。高いところから見下ろしたときの水平線と視線の間の角が俯角です。どちらも水平線から測り、鉛直線からは決して測りません。測量士は三脚にのせた器具で測りますが、学校の課題なら、おもりをつけた糸と分度器、またはスマートフォンのアプリで十分です。

α は仰角で、目の位置の水平線から上に測ります。β は俯角で、上の位置の水平線から下に測ります。二本の破線はどちらも水平です。

一つの角から高さを求める

木の根元から測った距離 d だけ歩き、てっぺんへの仰角 θ を測ります。目からの水平線、鉛直な幹、視線が直角三角形をつくります。距離 d は θ の隣辺、目より上の高さは対辺なので、タンジェントがそれらを結びます：目より上の高さ = d tan θ。OpenStax は、30フィート離れた木を 57° で見上げる例を解き、約 46.2 フィートを得ています。自分の目の高さを忘れないようにしましょう。30 m、40° で、目が地面から 1.5 m の高さなら、木の高さは 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m です。

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高さ 24 m の塔。ドラッグするか角度のスライダーを動かして、視線がちょうどてっぺんに届くようにします。すると見積もり 1.5 + d tan θ が塔の高さと一致します。「方法」を「影」に切りかえると、タレスのやり方になります。

見下ろす

通りから 12 m の高さの窓から、止まっている車が俯角 25° で見えます。窓の高さの水平線と通りは平行で、視線はその両方と交わるので、俯角は車からあなたを見上げる仰角と等しくなります。二つは錯角だからです。したがって、車は建物の根元から 12 / tan 25° ≈ 25.73 m 離れています。一つの窓から二つの角を測れば、通りの向こうの塔全体の高さも測れます。塔が 50 m 離れていて、てっぺんへの仰角が 30°、根元への俯角が 20° なら、塔の高さは 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m です。

影

背景MacTutor は、ミレトスのタレスがエジプトのピラミッドの高さをどう測ったかについての古い記録を集めています。二世紀に書いたディオゲネス・ラエルティオスは、アリストテレスの弟子ヒエロニュモスのことばを引いています。タレスは、私たちの影が自分の身長と等しくなる瞬間に、ピラミッドの影でその高さを測った、というのです。プルタルコスはもっと幾何学に近い話を伝えています。タレスはピラミッドの影の先端に棒を立て、太陽の光がつくる二つの三角形を使って、ピラミッドと棒の比はピラミッドの影と棒の影の比に等しいことを示しました。MacTutor は、これらの話がタレスの生きた時代から何世紀も後に書かれたものだと付け加えています。

どちらの話もうまくいくのは、太陽がとても遠くにあるので、光が平行に届くからです。すると、まっすぐ立つ物はどれも高さと影の比が同じになり、その比は太陽の高度のタンジェントです。1 m の棒の影が 1.6 m で、同じ時刻に塔の影が 40 m なら、塔の高さは 40 × 1/1.6 = 25 m です。太陽の高度が 45° になる特別な瞬間には tan 45° = 1 なので、どの影もその物とちょうど同じ長さになります。これが一つ目の話です。

  1. 木から 30 m 離れて立ち、目の高さは 1.5 m、てっぺんが 40° に見えます。木の高さを小数第2位まで答えましょう。
  2. OpenStax：30 ft 離れた木、地面から測った仰角 57°。高さを小数第1位まで答えましょう。
  3. ラボで：塔 24 m、d = 30 m、目の高さ 1.5 m。てっぺんにいちばん近く当たる整数の角度は何度ですか？
  4. 12 m の高さの窓から、車が俯角 25° で見えます。建物からの距離を小数第2位まで答えましょう。
  5. 窓からの俯角が車からの仰角と等しいのはなぜですか？
    • 平行線の錯角だから
    • 対頂角だから
    • 互いに余角だから
    • 建物が高いから
  6. 50 m 離れた塔：てっぺんへの仰角 30°、根元への俯角 20°。高さを小数第2位まで答えましょう。
  7. 1 m の棒の影が 1.6 m、塔の影が 40 m です。塔の高さは？
  8. 同じ時刻。太陽の高度を小数第1位まで答えましょう。
  9. 太陽の高度が何度のとき、どの影もその物と同じ長さになりますか？
  10. 仰角はどこから測りますか：
    • 水平線
    • 鉛直線
    • 物のところの地面
    • 視線
  11. 太陽が空の低いところへ下がると、影は：
    • 長くなる
    • 短くなる
    • 変わらない
    • 消える
ポイント
  • 仰角と俯角は水平線から測ります。
  • 目より上の高さ = d tan θ。目の高さを足します。
  • 上からの俯角 = 下からの仰角（錯角）。
  • 影：ある瞬間には、高さ / 影はどの物でも同じ。45° のときは等しくなります。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

確認日: 2026-10-17