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ホーム›図形と作図›三角比

サインとコサインのグラフ

円を回る点の高さを追いかけ、角に対してグラフにかきます。一周でちょうど一つの波になり、その長さは 2π です。

円から波へ

前の単元では、角のサインは単位円上の点の高さでした。今度は角をグラフの横軸にとり（単位はラジアン）、その高さを上にかいていきます。0 では点は (1, 0) にあり、高さは 0 です。π/2 で高さ 1 まで上がり、π で 0 に戻り、3π/2 で −1 まで下がって、2π で出発点の 0 に戻ります。こうしてできる曲線がサインの波です。回り続けると、同じ形がくり返されます。

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「再生」を押すか、円の上の点やグラフに沿って点をドラッグしましょう。緑の曲線は今の角までかかれます。紫の曲線は y = A sin(Bx) です。A と B を変えると伸び縮みします。

周期と値の範囲

OpenStax Precalculus は、おもな特徴を次のように説明しています。グラフは 2π ごとにくり返すので、サインは周期 2π の周期関数です。どんな x でも sin(x + 2π) = sin x です。点は半径 1 の円の上にあるので、値が 1 より大きくなることも −1 より小さくなることもありません。波は π の倍数ごとに軸と交わり、π/2 に一回転の整数倍を足したところで最大、3π/2 に一回転の整数倍を足したところで最小になります。

コサインは横の座標なので、グラフは x = 0 で 1 から始まり、π/2 で 0 まで下がり、π で −1 になります。サインと同じ波を左へ四分の一回転ずらしたもので、cos x = sin(x + π/2) です。ラボで「コサインのグラフ」をオンにすると、二つの曲線がいつも四分の一周期ずれて並ぶのが見られます。

sin x（実線）と cos x（破線）の一周期。

波を伸び縮みさせる

Precalculus は一般の正弦関数を y = A sin(Bx − C) + D と書きます。ここで関係するのは A と B だけです。A は波を縦に伸ばします。その絶対値 |A| が振幅で、中心線から山の頂上までの高さです。だから y = 3 sin x は 3 と −3 の間をゆれます。B は波を横に縮め、周期は P = 2π/|B| になります。B = 2 なら波は π ごとに、つまり二倍の速さでくり返します。B = 1/2 ならくり返すまでに 4π、約 12.57 かかります。A が負なら、振幅はそのままで波が上下逆になります。

背景サインという名前には奇妙な歴史があり、MacTutor がそれをまとめています。500年ごろのインドでアーリヤバタは半弦の表をつくりました。これは本当のサインの表で、サインを jya と呼びました。アラビアの数学者はこの語を jiba として取り入れましたが、これはアラビア語では意味のない音でした。のちの書き手はこれを jaib とつづりました。「ひだ」を意味するアラビア語です。ヨーロッパの翻訳者はそれをラテン語の sinus と訳しました。これも「ひだ」という意味です。フィボナッチが sinus rectus arcus を使ったことで広まりました。短い形 sin を最初に使ったのはエドマンド・ガンターで、1624年の図の中でした。本に初めて現れたのは1634年、フランスの数学者エリゴンによるものです。
  • 紀元前140年ごろ: ヒッパルコスが知られている最初の弦の表をつくる。
  • 500年ごろ: アーリヤバタが半弦の表をつくり、サインを jya と呼ぶ。
  • 628: ブラフマグプタが同じサインの表を載せる。
  • 980: アブル・ワファーが sin 2x = 2 sin x cos x を知っている。
  • 1533: レギオモンタヌスの『三角形について（De triangulis）』（1464年ごろ執筆）が出版される。
  • 1583: トーマス・フィンケがタンジェントという名前を初めて使う。
  • 1624: エドマンド・ガンターが略号 sin を初めて書く。
  1. y = sin x の周期を小数第4位まで答えましょう。
  2. sin x の最大値は？
  3. 0 から 2π の間で、sin x が −1 になる x は？
    • 3π/2
    • π
    • π/2
    • 2π
  4. cos 0 は？
  5. y = 3 sin x の振幅は？
  6. y = −2 sin x の振幅は？
  7. y = sin 2x の周期を小数第4位まで答えましょう。
  8. y = sin(x/2) の周期を小数第2位まで答えましょう。
  9. cos x と等しいのは：
    • sin(x + π/2)
    • sin(x + π)
    • −sin x
    • sin 2x
  10. サインのもとになったラテン語 sinus の意味は：
    • ひだ
    • 弦
    • 円
    • 影
  11. 略号 sin を最初に使ったのはだれで、何年ですか？年を答えましょう。
ポイント
  • sin x は、単位円上の点の高さを角に対してグラフにしたものです。
  • 周期は 2π。値は −1 から 1 の間。π の倍数で 0 になります。
  • cos x = sin(x + π/2)：同じ波が四分の一回転先を進みます。
  • y = A sin(Bx)：振幅 |A|、周期 2π/|B|。
  • jya → jiba → jaib → sinus。sin は1624年にガンターが初めて書きました。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

確認日: 2026-10-17