Grafieken van sinus en cosinus
Volg de hoogte van een punt dat rond een cirkel beweegt en zet die uit tegen de hoek: één rondje levert één volledige golf op, met lengte 2π.
Van cirkel naar golf
In het vorige hoofdstuk was de sinus van een hoek de hoogte van een punt op de eenheidscirkel. Maak nu de hoek de horizontale as van een grafiek, gemeten in radialen, en zet die hoogte erboven uit. Bij 0 ligt het punt op (1, 0), hoogte 0. Het stijgt tot hoogte 1 bij π/2, komt terug naar 0 bij π, daalt tot −1 bij 3π/2 en keert bij 2π terug naar 0, waar het begon. De kromme die je krijgt is de sinusgolf. Blijf ronddraaien en dezelfde vorm herhaalt zich.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Periode en bereik
OpenStax Precalculus beschrijft de belangrijkste kenmerken. De grafiek herhaalt zich na 2π, dus sinus is een periodieke functie met periode 2π: sin(x + 2π) = sin x voor elke x. De waarden komen nooit boven 1 of onder −1, omdat het punt op een cirkel met straal 1 blijft. De golf snijdt de as bij elk veelvoud van π, bereikt toppen bij π/2 plus hele draaien en dalen bij 3π/2 plus hele draaien.
Cosinus is de horizontale coördinaat, dus de grafiek begint bij 1 als x = 0, daalt tot 0 bij π/2 en bereikt −1 bij π. Het is dezelfde golf als sinus, een kwart draai naar links verschoven: cos x = sin(x + π/2). Schakel de cosinusgrafiek in het lab in om de twee krommen naast elkaar te zien, altijd een kwart periode uit elkaar.
De golf uitrekken
Precalculus schrijft de algemene sinusvormige functie als y = A sin(Bx − C) + D. Hier zijn alleen A en B van belang. Het getal A rekt de golf verticaal uit; de absolute waarde |A| is de amplitude, de hoogte van een top boven de middenlijn. Dus y = 3 sin x schommelt tussen 3 en −3. Het getal B drukt de golf horizontaal samen: de periode wordt P = 2π/|B|. Met B = 2 herhaalt de golf zich elke π, tweemaal zo vaak; met B = 1/2 duurt het 4π, ongeveer 12.57, tot de herhaling. Een negatieve A keert de golf ondersteboven zonder de amplitude te veranderen.
- rond 140 v.Chr.: Hipparchus maakt de eerste bekende koordentabel.
- rond 500: Aryabhata maakt een tabel van halve koorden en noemt de sinus jya.
- 628: Brahmagupta neemt dezelfde sinustabel over.
- 980: Abu'l-Wafa kent sin 2x = 2 sin x cos x.
- 1533: De triangulis van Regiomontanus, rond 1464 geschreven, wordt gepubliceerd.
- 1583: Thomas Fincke gebruikt voor het eerst de naam tangens.
- 1624: Edmund Gunter schrijft voor het eerst de afkorting sin.
- Wat is de periode van y = sin x op 4 decimalen?
- Wat is de grootste waarde van sin x?
- Bij welke x tussen 0 en 2π bereikt sin x de waarde −1?
- 3π/2
- π
- π/2
- 2π
- cos 0?
- Wat is de amplitude van y = 3 sin x?
- Wat is de amplitude van y = −2 sin x?
- Wat is de periode van y = sin 2x op 4 decimalen?
- Wat is de periode van y = sin(x/2) op 2 decimalen?
- cos x is gelijk aan:
- sin(x + π/2)
- sin(x + π)
- −sin x
- sin 2x
- Het Latijnse woord sinus, waarvan sinus is afgeleid, betekent:
- een plooi
- een koorde
- een cirkel
- een schaduw
- Wie gebruikte de afkorting sin als eerste en in welk jaar? Geef het jaar.
- Bij sin x zet je de hoogte van een punt op de eenheidscirkel uit tegen de hoek.
- Periode 2π; waarden tussen −1 en 1; nulpunten bij veelvouden van π.
- cos x = sin(x + π/2): dezelfde golf een kwart draai vooruit.
- y = A sin(Bx): amplitude |A|, periode 2π/|B|.
- jya → jiba → jaib → sinus; sin voor het eerst geschreven door Gunter in 1624.
Bronnen van deze cursus (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions).
Geraadpleegd: 2026-10-17