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사인과 코사인의 그래프

원을 도는 점의 높이를 각에 따라 그래프로 그리면 한 바퀴에 길이 2π인 물결이 하나 그려집니다.

원에서 물결로

앞 단원에서 각의 사인은 단위원 위 점의 높이였습니다. 이번에는 라디안으로 잰 각을 그래프의 가로축으로 삼고, 그 위에 높이를 찍습니다. 각이 0이면 점은 (1, 0)에 있고 높이는 0입니다. π/2에서 높이 1까지 올라가고, π에서 다시 0으로, 3π/2에서 −1까지 내려갔다가 2π에서 처음 자리인 0으로 돌아옵니다. 이렇게 얻은 곡선이 사인 곡선입니다. 계속 돌면 같은 모양이 되풀이됩니다.

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끌어서 돌리고, 휠이나 두 손가락으로 확대하세요.

「재생」을 누르거나 원 위의 점, 또는 그래프 위를 끌어 보세요. 초록 곡선은 지금 각까지 그려집니다. 보라색 곡선은 y = A sin(Bx)이고, A와 B를 바꾸면 늘어나거나 줄어듭니다.

주기와 치역

OpenStax 「Precalculus」는 주요 특징을 이렇게 정리합니다. 그래프는 2π마다 되풀이되므로 사인은 주기가 2π인 주기함수이고, 모든 x에서 sin(x + 2π) = sin x입니다. 점이 반지름 1인 원 위에 머물기 때문에 값은 1보다 커지거나 −1보다 작아지지 않습니다. 곡선은 π의 배수마다 가로축을 지나고, π/2에 한 바퀴씩 더한 곳에서 가장 높고, 3π/2에 한 바퀴씩 더한 곳에서 가장 낮습니다.

코사인은 가로 좌표이므로 그래프가 x = 0에서 1로 시작해 π/2에서 0으로 내려가고 π에서 −1이 됩니다. 사인과 같은 물결을 왼쪽으로 4분의 1바퀴 옮긴 모양입니다. cos x = sin(x + π/2). 실험실에서 코사인 그래프를 켜면 두 곡선이 언제나 4분의 1주기만큼 떨어져 나란히 가는 것이 보입니다.

sin x(실선)와 cos x(점선)의 한 주기입니다.

물결 늘리고 줄이기

「Precalculus」는 일반적인 사인 꼴 함수를 y = A sin(Bx − C) + D로 씁니다. 여기서는 A와 B만 봅니다. A는 물결을 세로로 늘립니다. 그 절댓값 |A|가 진폭이고, 가운데 선에서 봉우리까지의 높이입니다. 그래서 y = 3 sin x는 3과 −3 사이를 오갑니다. B는 물결을 가로로 줄입니다. 주기가 P = 2π/|B|가 됩니다. B = 2이면 물결이 π마다 되풀이되어 두 배 자주 나타나고, B = 1/2이면 되풀이되는 데 4π, 약 12.57이 걸립니다. A가 음수이면 진폭은 그대로이고 물결이 위아래로 뒤집힙니다.

배경사인이라는 이름에는 묘한 역사가 있고, MacTutor가 이를 정리해 두었습니다. 500년 무렵 인도의 아리아바타는 반현의 표를 만들었는데, 이것이 진짜 사인표입니다. 그는 사인을 쟈(jya)라고 불렀습니다. 아랍의 수학자들은 이 말을 지바(jiba)로 받아들였는데, 아랍어로는 뜻이 없는 소리였습니다. 뒤의 저자들은 이를 「접힌 곳」이라는 뜻의 아랍어 자이브(jaib)로 적었고, 유럽의 번역자들은 그것을 같은 뜻의 라틴어 시누스(sinus)로 옮겼습니다. 피보나치가 sinus rectus arcus라는 말을 쓰면서 널리 퍼졌습니다. 줄임말 sin은 1624년 에드먼드 건터가 그림 속에서 처음 썼고, 책에는 1634년 프랑스 수학자 에리곤이 처음 실었습니다.
  • 기원전 140년경: 히파르코스가 처음 알려진 현의 표를 만듭니다.
  • 500년경: 아리아바타가 반현의 표를 만들고 사인을 쟈라고 부릅니다.
  • 628년: 브라마굽타가 같은 사인표를 다시 싣습니다.
  • 980년: 아불와파가 sin 2x = 2 sin x cos x를 압니다.
  • 1533년: 1464년경에 쓰인 레기오몬타누스의 『삼각형에 관하여』가 출판됩니다.
  • 1583년: 토마스 핑케가 탄젠트라는 이름을 처음 씁니다.
  • 1624년: 에드먼드 건터가 줄임말 sin을 처음 씁니다.
  1. y = sin x의 주기를 소수 넷째 자리까지?
  2. sin x의 가장 큰 값은?
  3. 0과 2π 사이에서 sin x가 −1이 되는 x는?
    • 3π/2
    • π
    • π/2
    • 2π
  4. cos 0은?
  5. y = 3 sin x의 진폭은?
  6. y = −2 sin x의 진폭은?
  7. y = sin 2x의 주기를 소수 넷째 자리까지?
  8. y = sin(x/2)의 주기를 소수 둘째 자리까지?
  9. cos x와 같은 것은?
    • sin(x + π/2)
    • sin(x + π)
    • −sin x
    • sin 2x
  10. 사인의 어원인 라틴어 sinus의 뜻은?
    • 접힌 곳
    • 현
    • 원
    • 그림자
  11. sin이라는 줄임말이 처음 쓰인 해는?
핵심 정리
  • sin x는 단위원 위 점의 높이를 각에 따라 그린 그래프입니다.
  • 주기 2π, 값은 −1과 1 사이, π의 배수에서 0입니다.
  • cos x = sin(x + π/2)로, 같은 물결이 4분의 1바퀴 앞서 있습니다.
  • y = A sin(Bx)의 진폭은 |A|, 주기는 2π/|B|입니다.
  • jya → jiba → jaib → sinus, 줄임말 sin은 1624년 건터가 처음 썼습니다.