각과 그림자로 높이 재기

나무에서 30 m 떨어져 서서 40° 올려다본 곳이 꼭대기라면, 나무는 내 눈높이보다 약 25.2 m 높습니다. 사다리도, 줄자도 필요 없습니다.

올려본각과 내려본각

OpenStax는 무언가를 올려다볼 때 수평선과 시선 사이의 각을 올려본각이라고 정의합니다. 높은 곳에서 내려다볼 때 수평선과 시선 사이의 각은 내려본각입니다. 둘 다 수직선이 아니라 수평선에서부터 잽니다. 측량사는 삼각대 위의 기구로 이 각을 재고, 학교 과제라면 추를 매단 각도기나 휴대전화 앱으로도 충분합니다.

각 하나로 높이 구하기

나무 밑동에서 거리 d만큼 걸어가 나무 꼭대기의 올려본각 θ를 잽니다. 눈에서 나온 수평선, 수직인 줄기, 시선이 직각삼각형을 이룹니다. 거리 d는 θ의 이웃변이고 눈높이 위로의 높이는 대변이므로 탄젠트가 둘을 잇습니다. 눈높이 위의 높이 = d tan θ. OpenStax는 30피트 떨어진 곳에서 57°로 본 나무를 예로 들어 약 46.2피트를 얻습니다. 자기 눈높이를 잊지 마세요. 30 m 떨어져 40°로 보았고 눈이 땅에서 1.5 m 위에 있다면 나무의 높이는 1.5 + 30 tan 40° ≈ 1.5 + 25.17 ≈ 26.67 m입니다.

내려다보기

길에서 12 m 높이의 창문에서 주차된 차를 내려본각 25°로 봅니다. 창문 높이의 수평선과 길은 평행하고 시선이 둘을 가로지르므로, 내려본각은 차에서 나를 올려다본 올려본각과 같습니다. 두 각은 엇각입니다. 그래서 차는 건물 밑에서 12 / tan 25° ≈ 25.73 m 떨어져 있습니다. 한 창문에서 각 두 개를 재면 길 건너 탑 전체의 높이도 잴 수 있습니다. 탑까지 50 m이고 꼭대기의 올려본각이 30°, 밑동의 내려본각이 20°이면 탑의 높이는 50 tan 30° + 50 tan 20° ≈ 28.87 + 18.20 ≈ 47.07 m입니다.

그림자

두 이야기 모두 성립하는 이유는 해가 아주 멀어서 햇빛이 평행하게 들어오기 때문입니다. 그러면 곧게 선 모든 물체의 높이와 그림자의 비가 같고, 그 비가 태양 고도의 탄젠트입니다. 같은 순간에 1 m 막대의 그림자가 1.6 m이고 탑의 그림자가 40 m라면 탑의 높이는 40 × 1/1.6 = 25 m입니다. 해가 45° 높이에 오는 순간에는 tan 45° = 1이어서 모든 그림자가 물체의 높이와 정확히 같습니다. 이야기의 첫 번째 판이 이 순간입니다.