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ホーム›図形と作図›三角比

直角三角形を解く

一辺と一つの鋭角がわかれば、直角三角形のほかのことはすべて求められます。30° の角の向かいの辺が 7 なら、斜辺はちょうど 14 です。

わからない辺を求める

OpenStax ははっきり述べています。直角三角形の三角比が本当に力を発揮するのは、角はわかっていても辺がすべてはわからないときです。方法は三つのステップです。まず、求めたい辺とわかっている辺を含む比を選びます。次に、わかっている角を使って式を立てます。最後に、わからない数について解きます。OpenStax 自身の例を見てみましょう。角は 30°、対辺は 7、隣辺 a はわかりません。タンジェントは対辺と隣辺を結ぶので tan 30° = 7/a、変形すると a = 7 / tan 30° ≈ 12.1 です。斜辺 c については、サインが対辺と斜辺を結ぶので sin 30° = 7/c、つまり c = 7 / sin 30° = 14 です。

わからない数がどこにあるかに注意しましょう。分数の上にあればかけます。長さ 5 m のはしごを地面と 75° の角で立てかけると、届く高さは 5 sin 75° ≈ 4.83 m、はしごの足は壁から 5 cos 75° ≈ 1.29 m 離れています。わからない数が下にあればわります。上の 7 / tan 30° がその例です。すばやい確かめ方：斜辺は直角をはさむどちらの辺よりも長く、大きいほうの鋭角の向かいの辺が、直角をはさむ辺のうち長いほうになるはずです。

わからない角を求める

二辺がわかっていて角を求めたいこともあります。そのときは逆関数を使って比を逆にたどります。逆関数は sin⁻¹、cos⁻¹、tan⁻¹ と書きます（アークサイン、アークコサイン、アークタンジェントともいいます）。対辺が 3、隣辺が 4 なら、tan θ = 3/4 = 0.75 で、θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87° です。もう一つの鋭角は 90 − 36.87 = 53.13° です。ここでの −1 は名前で、累乗ではありません。sin⁻¹ x は「サインが x になる角」という意味で、1 / sin x ではありません。

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パネルはタンジェントを逆にたどります。直角をはさむ二辺から tan⁻¹ で角を求めます。θ = 37°、斜辺 5 にすると、3-4-5 に近い三角形が見られます。

三角形全体を解く

直角三角形を解くとは、三辺と二つの鋭角をすべて求めることです。二辺がわかっていれば、三平方の定理で残りの辺を、逆関数で角を一つ求めます。最後の角は 90° からその角を引いたものです。一辺と一つの角がわかっていれば、もう一つの鋭角は 90° から与えられた角を引いたもので、二つの比から残りの辺が求められます。たとえば直角をはさむ辺が 6 と 8 なら、斜辺は √(36 + 64) = 10、6 の向かいの角は tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87°、もう一つの角は約 53.13° です。3-4-5 の三角形を 2 倍に拡大したものなので、角が一致します。

答えを別の比で確かめると役に立ちます。OpenStax の例では、辺は 7、約 12.12、14 でした。すると cos 30° は 12.12 / 14 ≈ 0.866 になるはずで、実際に cos 30° = √3/2 ≈ 0.866 です。合わなければ、どれかの辺を間違った比で求めたということです。

四捨五入は最後だけにしましょう。tan 30° を 0.58 に丸めてからわると、7 / 0.58 は 12.12 ではなく 12.07 になります。最後のステップまで電卓の値をそのまま使いましょう。
  1. 角 30°、対辺 7。隣辺を小数第2位まで答えましょう。
  2. 同じ三角形。斜辺は？
  3. 5 m のはしごが地面と 75° の角をなしています。壁のどの高さまで届きますか？小数第2位まで答えましょう。
  4. 同じはしご。はしごの足は壁から何 m 離れていますか？小数第2位まで答えましょう。
  5. 対辺 3、隣辺 4。θ を度で小数第2位まで答えましょう。
  6. 対辺 5、斜辺 10。θ は？
  7. スロープが水平距離 6 m で 0.5 m 上がります。角度を小数第2位まで答えましょう。
  8. 直角をはさむ辺が 6 と 8。斜辺は？
  9. 斜辺 12、角 40°。40° の隣辺を小数第2位まで答えましょう。
  10. sin⁻¹(0.6) は何を表しますか？
    • サインが 0.6 になる角
    • 1 ÷ sin 0.6
    • sin 0.6 の二乗
    • −sin 0.6
  11. 斜辺が 4、直角をはさむ辺が 5 になりました。何がおかしいのでしょう？
    • 斜辺はいちばん長い辺でなければならない
    • 何もおかしくない
    • 角は 45° でなければならない
    • 直角をはさむ辺はいつも 1 より短い
ポイント
  • わからない辺とわかっている辺を含む比を選びます。
  • わからない数が上ならかける。下ならわる。
  • 逆関数 sin⁻¹、cos⁻¹、tan⁻¹ は比を角に戻します。
  • 二つの鋭角の和は 90°。三つ目の辺は三平方の定理で求めます。
  • 四捨五入は最後だけ。
このコースの出典 (6)
  • OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
  • OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
  • 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
  • 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
  • MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
  • OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)

確認日: 2026-10-17