Résoudre un triangle rectangle

Un côté et un angle aigu suffisent pour trouver tout le reste d'un triangle rectangle. Avec un côté de 7 opposé à un angle de 30°, l'hypoténuse vaut exactement 14.

Trouver un côté manquant

OpenStax le dit clairement : la vraie puissance de la trigonométrie du triangle rectangle apparaît quand on connaît un angle mais pas tous les côtés. La méthode a trois étapes. Choisis d'abord le rapport qui contient le côté cherché et un côté connu. Écris ensuite l'équation avec l'angle connu. Résous enfin pour trouver l'inconnue. Prends l'exemple d'OpenStax lui-même : angle de 30°, côté opposé 7, et côté adjacent a inconnu. La tangente relie l'opposé et l'adjacent, donc tan 30° = 7/a, ce qui donne a = 7 / tan 30° ≈ 12.1. Pour l'hypoténuse c, le sinus relie l'opposé et l'hypoténuse : sin 30° = 7/c, donc c = 7 / sin 30° = 14.

Regarde où se trouve l'inconnue. Si elle est au numérateur, tu multiplies : une échelle de 5 m inclinée à 75° par rapport au sol atteint une hauteur de 5 sin 75° ≈ 4.83 m, et son pied est à 5 cos 75° ≈ 1.29 m du mur. Si l'inconnue est au dénominateur, tu divises, comme avec le 7 / tan 30° ci-dessus. Vérification rapide : l'hypoténuse doit être plus longue que les deux autres côtés, et le côté opposé au plus grand angle aigu doit être le plus long des deux côtés de l'angle droit.

Trouver un angle manquant

Parfois, on connaît deux côtés et on cherche l'angle. On utilise alors un rapport à l'envers avec une fonction réciproque, notée sin⁻¹, cos⁻¹ et tan⁻¹ (aussi appelées arcsinus, arccosinus et arctangente). Si le côté opposé vaut 3 et le côté adjacent 4, alors tan θ = 3/4 = 0.75 et θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°. L'autre angle aigu vaut 90 − 36.87 = 53.13°. Le −1 est ici un nom, pas une puissance : sin⁻¹ x veut dire « l'angle dont le sinus vaut x », pas 1 / sin x.

Résoudre tout le triangle

Résoudre un triangle rectangle, c'est trouver ses trois côtés et ses deux angles aigus. À partir de deux côtés, utilise le théorème de Pythagore pour le troisième et une fonction réciproque pour un angle. Le dernier angle vaut 90° moins le premier. À partir d'un côté et d'un angle, l'autre angle aigu vaut 90° moins l'angle donné, et deux rapports donnent les côtés restants. Avec des côtés de l'angle droit de 6 et 8, par exemple, l'hypoténuse vaut √(36 + 64) = 10, l'angle opposé à 6 vaut tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87° et l'autre angle environ 53.13°. C'est le triangle 3-4-5 agrandi 2 fois, donc les angles sont les mêmes.

Il est utile de vérifier une réponse avec un second rapport. Dans l'exemple d'OpenStax, les côtés valaient 7, environ 12.12 et 14. Alors cos 30° doit valoir 12.12 / 14 ≈ 0.866, et c'est bien le cas : cos 30° = √3/2 ≈ 0.866. Un désaccord veut dire qu'un des côtés a été trouvé avec le mauvais rapport.