Resolvendo triângulos retângulos
Um lado e um ângulo agudo bastam para descobrir todo o resto de um triângulo retângulo. Com o lado 7 oposto a um ângulo de 30°, a hipotenusa mede exatamente 14.
Achando um lado que falta
O OpenStax diz com todas as letras: a verdadeira força da trigonometria no triângulo retângulo aparece quando você conhece um ângulo, mas não todos os lados. O método tem três passos. Primeiro escolha a razão que contém o lado que você quer e um lado que você conhece. Depois escreva a equação com o ângulo conhecido. Por fim, isole a incógnita. Veja o próprio exemplo do OpenStax: ângulo de 30°, cateto oposto 7 e cateto adjacente a desconhecido. A tangente liga o oposto e o adjacente, então tan 30° = 7/a, que se reorganiza em a = 7 / tan 30° ≈ 12.1. Para a hipotenusa c, o seno liga o oposto e a hipotenusa: sin 30° = 7/c, então c = 7 / sin 30° = 14.
Repare onde fica a incógnita. Se ela está em cima da fração, você multiplica: uma escada de 5 m apoiada a 75° do chão alcança uma altura de 5 sin 75° ≈ 4.83 m, e seu pé fica a 5 cos 75° ≈ 1.29 m da parede. Se a incógnita está embaixo, você divide, como no 7 / tan 30° acima. Uma conferência rápida: a hipotenusa tem de sair maior que os dois catetos, e o cateto oposto ao maior ângulo agudo tem de ser o cateto maior.
Achando um ângulo que falta
Às vezes você conhece dois lados e quer o ângulo. Aí você faz a razão ao contrário com uma função inversa, escrita sin⁻¹, cos⁻¹ e tan⁻¹ (também chamadas arco-seno, arco-cosseno e arco-tangente). Se o cateto oposto é 3 e o adjacente é 4, então tan θ = 3/4 = 0.75 e θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°. O outro ângulo agudo é 90 − 36.87 = 53.13°. O −1 aqui é um nome, não uma potência: sin⁻¹ x quer dizer "o ângulo cujo seno é x", e não 1 / sin x.
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Resolvendo o triângulo inteiro
Resolver um triângulo retângulo é encontrar os três lados e os dois ângulos agudos. A partir de dois lados, use o teorema de Pitágoras para o terceiro e uma função inversa para um ângulo; o último ângulo é 90° menos o primeiro. A partir de um lado e um ângulo, o outro ângulo agudo é 90° menos o dado, e duas razões dão os lados que faltam. Com catetos 6 e 8, por exemplo, a hipotenusa é √(36 + 64) = 10, o ângulo oposto a 6 é tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87° e o outro ângulo é cerca de 53.13°. É o triângulo 3-4-5 ampliado 2 vezes, então os ângulos coincidem.
Ajuda conferir uma resposta com uma segunda razão. No exemplo do OpenStax, os lados deram 7, cerca de 12.12 e 14. Então cos 30° deveria ser igual a 12.12 / 14 ≈ 0.866, e é: cos 30° = √3/2 ≈ 0.866. Uma diferença quer dizer que um dos lados foi achado com a razão errada.
- Ângulo de 30°, cateto oposto 7. Cateto adjacente com 2 casas decimais?
- Mesmo triângulo. Hipotenusa?
- Uma escada de 5 m forma 75° com o chão. A que altura da parede ela chega, com 2 casas decimais?
- Mesma escada. A que distância da parede fica o pé dela, com 2 casas decimais?
- Cateto oposto 3, adjacente 4. Quanto é θ em graus, com 2 casas decimais?
- Cateto oposto 5, hipotenusa 10. θ?
- Uma rampa sobe 0.5 m num percurso horizontal de 6 m. Qual é o seu ângulo, com 2 casas decimais?
- Catetos 6 e 8. Hipotenusa?
- Hipotenusa 12, ângulo de 40°. Cateto adjacente a 40°, com 2 casas decimais?
- O que quer dizer sin⁻¹(0.6)?
- o ângulo cujo seno é 0.6
- 1 ÷ sin 0.6
- sin 0.6 ao quadrado
- −sin 0.6
- Você encontrou uma hipotenusa de 4 e um cateto de 5. O que deu errado?
- a hipotenusa tem de ser o lado maior
- nada
- o ângulo tem de ser 45°
- os catetos são sempre menores que 1
- Escolha a razão que tem o lado desconhecido e um lado conhecido.
- Incógnita em cima: multiplique. Incógnita embaixo: divida.
- As funções inversas sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹ transformam uma razão de volta num ângulo.
- Os dois ângulos agudos somam 90°; use Pitágoras para o terceiro lado.
- Arredonde só no final.
Fontes deste curso (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Data de verificação: 2026-10-17