Valores exatos de 30°, 45° e 60°

Dobre um quadrado pela diagonal e você obtém o valor exato de sin 45°: um lado sobre a diagonal, 1/√2, cerca de 0.7071.

O triângulo 45-45-90

A maioria dos senos e cossenos são decimais longos, mas três ângulos têm valores que dá para escrever de forma exata, e eles aparecem o tempo todo em geometria, física e design. O primeiro vem de um quadrado de lado 1. A diagonal o corta em dois triângulos retângulos com ângulos de 45°, 45° e 90°. Os dois catetos medem 1 e, pelo teorema de Pitágoras, a hipotenusa é √(1² + 1²) = √2. O OpenStax dá o padrão geral: os lados de um triângulo 45-45-90 estão na relação s, s, √2 s.

Lendo as razões nesse triângulo: sin 45° = 1/√2 e cos 45° = 1/√2. Multiplicar em cima e embaixo por √2 dá a forma mais arrumada √2/2, cerca de 0.7071. Os dois catetos são iguais, então tan 45° = 1/1 = 1. Um telhado ou rampa que sobe 1 a cada 1 na horizontal tem inclinação de 45°.

O triângulo 30-60-90

O segundo triângulo vem de um triângulo equilátero de lado 2. Todos os seus ângulos medem 60°. Trace uma reta do vértice de cima direto até o meio da base: ela divide o triângulo em dois triângulos retângulos com ângulos de 30°, 60° e 90°. Cada um tem hipotenusa 2 e cateto menor 1, metade da base. O cateto maior é √(2² − 1²) = √3. O OpenStax dá o padrão s, √3 s, 2s, com o cateto menor oposto a 30° e o cateto maior oposto a 60°.

A partir de 30°, o cateto oposto é 1 e o cateto adjacente é √3, então sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 e tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. A partir de 60°, os dois catetos trocam de papel: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 e tan 60° = √3 ≈ 1.7321.

Cofunções

Repare que sin 30° é igual a cos 60°, e sin 60° é igual a cos 30°. Não é coincidência. Os dois ângulos agudos de um triângulo retângulo somam 90°, e o cateto oposto a um deles é adjacente ao outro. Então o seno de um ângulo é sempre o cosseno do seu complemento: sin θ = cos(90° − θ). O OpenStax chama isso de identidade das cofunções. Ela mostra que cos 34° e sin 56° são o mesmo número, sem nenhuma conta.

Vale a pena saber os valores exatos por dois motivos. Eles deixam você terminar um problema sem calculadora e mantêm as respostas exatas: um triângulo 30-60-90 com cateto menor 5 tem cateto maior 5√3, que é exatamente o valor, enquanto 8.66 já está arredondado. Esses dois triângulos também são as formas dos dois esquadros do estojo de geometria, um com cantos de 45° e outro com cantos de 30° e 60°, e por isso os desenhos usam esses ângulos com tanta frequência.