Valores exactos de 30°, 45° y 60°

Dobla un cuadrado por su diagonal y obtienes el valor exacto de sin 45°: un lado entre la diagonal, 1/√2, alrededor de 0.7071.

El triángulo 45-45-90

La mayoría de los senos y cosenos son decimales largos, pero tres ángulos tienen valores que se pueden escribir de forma exacta, y aparecen continuamente en geometría, física y diseño. El primero sale de un cuadrado de lado 1. Su diagonal lo corta en dos triángulos rectángulos con ángulos de 45°, 45° y 90°. Los dos catetos miden 1 y, por el teorema de Pitágoras, la hipotenusa es √(1² + 1²) = √2. OpenStax enuncia el patrón general: los lados de un triángulo 45-45-90 guardan la relación s, s, √2 s.

Leyendo las razones en este triángulo: sin 45° = 1/√2 y cos 45° = 1/√2. Multiplicando arriba y abajo por √2 se obtiene la forma más limpia √2/2, alrededor de 0.7071. Los dos catetos son iguales, así que tan 45° = 1/1 = 1. Un tejado o una rampa que sube 1 por cada 1 de avance tiene una pendiente de 45°.

El triángulo 30-60-90

El segundo triángulo sale de un triángulo equilátero de lado 2. Todos sus ángulos miden 60°. Traza una línea desde el vértice superior hasta el punto medio de la base: divide el triángulo en dos triángulos rectángulos con ángulos de 30°, 60° y 90°. Cada uno tiene hipotenusa 2 y cateto corto 1, la mitad de la base. El cateto largo es √(2² − 1²) = √3. OpenStax da el patrón s, √3 s, 2s, con el cateto corto opuesto a 30° y el cateto largo opuesto a 60°.

Desde 30°, el cateto opuesto es 1 y el adyacente es √3, así que sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 y tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. Desde 60°, los dos catetos intercambian sus papeles: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 y tan 60° = √3 ≈ 1.7321.

Cofunciones

Fíjate en que sin 30° es igual a cos 60°, y sin 60° es igual a cos 30°. No es casualidad. Los dos ángulos agudos de un triángulo rectángulo suman 90°, y el cateto opuesto a uno es el adyacente al otro. Así que el seno de un ángulo siempre es el coseno de su complementario: sin θ = cos(90° − θ). OpenStax lo llama identidad de cofunción. Significa que cos 34° y sin 56° son el mismo número sin hacer ningún cálculo.

Vale la pena conocer los valores exactos por dos razones. Permiten terminar un problema sin calculadora y mantienen exactas las respuestas: un triángulo 30-60-90 con cateto corto 5 tiene un cateto largo de 5√3, que es exactamente lo que mide, mientras que 8.66 ya está redondeado. Estos dos triángulos tienen además la forma de las dos escuadras de un juego de geometría, la escuadra con ángulos de 45° y el cartabón con ángulos de 30° y 60°, y por eso los dibujos usan tan a menudo estos ángulos.