Valeurs exactes pour 30°, 45° et 60°

Plie un carré selon sa diagonale et tu obtiens la valeur exacte de sin 45° : un côté sur la diagonale, 1/√2, environ 0.7071.

Le triangle 45-45-90

La plupart des sinus et des cosinus sont de longs nombres décimaux, mais trois angles ont des valeurs que l'on peut écrire exactement, et on les rencontre sans cesse en géométrie, en physique et en dessin technique. La première vient d'un carré de côté 1. Sa diagonale le coupe en deux triangles rectangles d'angles 45°, 45° et 90°. Les deux côtés de l'angle droit valent 1, et d'après le théorème de Pythagore, l'hypoténuse vaut √(1² + 1²) = √2. OpenStax énonce la règle générale : les côtés d'un triangle 45-45-90 sont dans le rapport s, s, √2 s.

On lit les rapports sur ce triangle : sin 45° = 1/√2 et cos 45° = 1/√2. En multipliant le haut et le bas par √2, on obtient la forme plus propre √2/2, environ 0.7071. Les deux côtés de l'angle droit sont égaux, donc tan 45° = 1/1 = 1. Un toit ou une rampe qui monte de 1 pour 1 d'avancée a une pente de 45°.

Le triangle 30-60-90

Le second triangle vient d'un triangle équilatéral de côté 2. Tous ses angles mesurent 60°. Trace une droite du sommet du haut jusqu'au milieu de la base : elle coupe le triangle en deux triangles rectangles d'angles 30°, 60° et 90°. Chacun a une hypoténuse de 2 et un petit côté de 1, la moitié de la base. Le grand côté de l'angle droit mesure √(2² − 1²) = √3. OpenStax donne la règle s, √3 s, 2s, avec le petit côté opposé à 30° et le grand côté de l'angle droit opposé à 60°.

Depuis 30°, le côté opposé vaut 1 et le côté adjacent √3, donc sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 et tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. Depuis 60°, les deux côtés de l'angle droit échangent leurs rôles : sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 et tan 60° = √3 ≈ 1.7321.

Angles complémentaires

Remarque que sin 30° est égal à cos 60°, et sin 60° à cos 30°. Ce n'est pas un hasard. Les deux angles aigus d'un triangle rectangle ont une somme de 90°, et le côté opposé à l'un est adjacent à l'autre. Le sinus d'un angle est donc toujours le cosinus de son complémentaire : sin θ = cos(90° − θ). OpenStax appelle cela l'identité des cofonctions. Cela veut dire que cos 34° et sin 56° sont le même nombre, sans aucun calcul.

Connaître les valeurs exactes est utile pour deux raisons. Elles permettent de terminer un problème sans calculatrice, et elles gardent les réponses exactes : un triangle 30-60-90 de petit côté 5 a un grand côté de l'angle droit de 5√3, ce qui est sa valeur exacte, alors que 8.66 est déjà arrondi. Ces deux triangles ont la forme des deux équerres d'une trousse de géométrie, l'une avec des angles de 45° et l'autre avec des angles de 30° et 60°, c'est pourquoi les dessins utilisent si souvent ces angles.