Valori esatti per 30°, 45° e 60°

Piega un quadrato lungo la diagonale e ottieni il valore esatto di sin 45°: un lato sulla diagonale, 1/√2, circa 0.7071.

Il triangolo 45-45-90

Quasi tutti i seni e coseni sono decimali lunghi, ma tre angoli hanno valori che puoi scrivere in modo esatto, e ricorrono di continuo in geometria, fisica e progettazione. Il primo viene da un quadrato di lato 1. La diagonale lo divide in due triangoli rettangoli con angoli di 45°, 45° e 90°. Entrambi i cateti valgono 1 e, per il teorema di Pitagora, l'ipotenusa è √(1² + 1²) = √2. OpenStax enuncia lo schema generale: i lati di un triangolo 45-45-90 stanno nella relazione s, s, √2 s.

Leggendo i rapporti su questo triangolo: sin 45° = 1/√2 e cos 45° = 1/√2. Moltiplicando numeratore e denominatore per √2 si ottiene la forma più ordinata √2/2, circa 0.7071. I due cateti sono uguali, quindi tan 45° = 1/1 = 1. Un tetto o una rampa che sale di 1 per ogni 1 in orizzontale ha una pendenza di 45°.

Il triangolo 30-60-90

Il secondo triangolo viene da un triangolo equilatero di lato 2. Tutti i suoi angoli sono di 60°. Traccia un segmento dal vertice in alto dritto fino al punto medio della base: divide il triangolo in due triangoli rettangoli con angoli di 30°, 60° e 90°. Ognuno ha ipotenusa 2 e cateto minore 1, metà della base. Il cateto maggiore è √(2² − 1²) = √3. OpenStax dà lo schema s, √3 s, 2s, con il cateto minore opposto a 30° e il cateto maggiore opposto a 60°.

Da 30°, il cateto opposto è 1 e il cateto adiacente è √3, quindi sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 e tan 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. Da 60° i due cateti si scambiano i ruoli: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 e tan 60° = √3 ≈ 1.7321.

Archi complementari

Nota che sin 30° è uguale a cos 60°, e sin 60° è uguale a cos 30°. Non è un caso. I due angoli acuti di un triangolo rettangolo sommano 90°, e il cateto opposto a uno è adiacente all'altro. Quindi il seno di un angolo è sempre il coseno del suo complementare: sin θ = cos(90° − θ). OpenStax la chiama identità delle cofunzioni; nei libri italiani è la regola degli archi complementari. Significa che cos 34° e sin 56° sono lo stesso numero, senza fare calcoli.

I valori esatti valgono la pena per due motivi. Ti permettono di finire un problema senza calcolatrice, e mantengono esatte le risposte: un triangolo 30-60-90 con cateto minore 5 ha cateto maggiore 5√3, che è esattamente quello, mentre 8.66 è già arrotondato. Gli stessi due triangoli sono le forme delle due squadre di un kit da disegno, una con angoli di 45° e una con angoli di 30° e 60°: per questo i disegni usano così spesso questi angoli.