Точные значения для 30°, 45° и 60°
Сложи квадрат по диагонали, и получишь точное значение sin 45°: сторона, делённая на диагональ, 1/√2, примерно 0.7071.
Треугольник 45-45-90
Большинство синусов и косинусов являются длинными десятичными дробями, но у трёх углов значения можно записать точно, и они постоянно встречаются в геометрии, физике и дизайне. Первый случай даёт квадрат со стороной 1. Диагональ делит его на два прямоугольных треугольника с углами 45°, 45° и 90°. Оба катета равны 1, а по теореме Пифагора гипотенуза равна √(1² + 1²) = √2. OpenStax формулирует общее правило: стороны треугольника 45-45-90 относятся как s, s, √2 s.
Читаем отношения по этому треугольнику: sin 45° = 1/√2 и cos 45° = 1/√2. Если умножить числитель и знаменатель на √2, получится более аккуратная форма √2/2, примерно 0.7071. Катеты равны, поэтому tg 45° = 1/1 = 1. Крыша или пандус, которые поднимаются на 1 на каждую 1 по горизонтали, имеют уклон 45°.
Треугольник 30-60-90
Второй треугольник получается из равностороннего треугольника со стороной 2. Все его углы равны 60°. Опусти отрезок из верхней вершины прямо вниз к середине основания: он разделит треугольник на два прямоугольных треугольника с углами 30°, 60° и 90°. У каждого гипотенуза равна 2, а короткий катет 1, половине основания. Высокий катет равен √(2² − 1²) = √3. OpenStax даёт правило s, √3 s, 2s, где короткий катет лежит напротив 30°, а длинный катет напротив 60°.
Для угла 30° противолежащий катет равен 1, а прилежащий √3, поэтому sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2 ≈ 0.8660 и tg 30° = 1/√3 = √3/3 ≈ 0.5774. Для угла 60° катеты меняются ролями: sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2 и tg 60° = √3 ≈ 1.7321.
| θ | sin θ | cos θ | tg θ |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 | √3/2 | √3/3 |
| 45° | √2/2 | √2/2 | 1 |
| 60° | √3/2 | 1/2 | √3 |
Перетащи, чтобы повернуть. Колёсико или щипок для масштаба.
Кофункции
Заметь, что sin 30° равен cos 60°, а sin 60° равен cos 30°. Это не случайность. Два острых угла прямоугольного треугольника в сумме дают 90°, и катет, противолежащий одному из них, прилежит к другому. Поэтому синус угла всегда равен косинусу дополнительного к нему угла: sin θ = cos(90° − θ). OpenStax называет это формулой кофункций. Значит, cos 34° и sin 56° являются одним и тем же числом без всяких вычислений.
Точные значения стоит знать по двум причинам. Они позволяют закончить задачу без калькулятора и сохраняют ответы точными: у треугольника 30-60-90 с коротким катетом 5 длинный катет равен 5√3, и это точное значение, а 8.66 уже округлено. Эти же два треугольника имеют форму двух угольников из чертёжного набора: один с углами 45°, другой с углами 30° и 60°. Поэтому на чертежах так часто встречаются эти углы.
- Точное значение sin 45°?
- √2/2
- 1/2
- √3/2
- 1
- Точное значение cos 30°?
- √3/2
- 1/2
- √2/2
- √3
- Точное значение tg 60°?
- √3
- √3/3
- 1
- 1/2
- У треугольника 45-45-90 катеты равны 7. Найди гипотенузу с точностью до 2 знаков после точки.
- У треугольника 30-60-90 короткий катет равен 5. Чему равна гипотенуза?
- Тот же треугольник. Найди длинный катет с точностью до 2 знаков после точки.
- Упражнение из OpenStax: в прямоугольном треугольнике есть угол 60°, гипотенуза равна 20. Найди катет напротив угла 60° с точностью до 2 знаков после точки.
- cos 34° = sin ?°
- Если cos θ = 5/13, чему равен sin(90° − θ) в виде десятичной дроби с 4 знаками после точки?
- sin 30° + cos 60°?
- (sin 45°)² ?
- 45-45-90: стороны s, s, √2 s; sin 45° = cos 45° = √2/2, tg 45° = 1.
- 30-60-90: стороны s, √3 s, 2s; sin 30° = 1/2, cos 30° = √3/2, tg 30° = √3/3.
- sin 60° = √3/2, cos 60° = 1/2, tg 60° = √3.
- Формула кофункций: sin θ = cos(90° − θ).
Источники курса (6)
- OpenStax, Algebra and Trigonometry 2e : 7.2 Right Triangle Trigonometry (sin = opposite/hypotenuse, cos = adjacent/hypotenuse, tan = opposite/adjacent, mnemonic SohCahToa; reciprocal functions sec, csc, cot; 3-4-5 example; cos α = 15/17; 30-60-90 sides s, √3s, 2s and 45-45-90 sides s, s, √2s; cofunction identity for complementary angles, cos 34° = sin 56° form; tan 30° = 7/a gives a ≈ 12.1 and c = 7/sin 30° = 14; angle of elevation and depression; tree 30 ft at 57° ≈ 46.2 ft: openstax.org/books/algebra-and-trigonometry-2e/pages/7-2-right-triangle-trigonometry)
- OpenStax Precalculus 2e: 5.1 Angles (one degree is 1/360 of a rotation; one radian intercepts an arc equal to the radius; arc length s = rθ: openstax.org/books/precalculus-2e/pages/5-1-angles)
- 5.2 Unit Circle: Sine and Cosine Functions (cos t = x, sin t = y; Pythagorean Identity cos²t + sin²t = 1: .../pages/5-2-unit-circle-sine-and-cosine-functions)
- 6.1 Graphs of the Sine and Cosine Functions (period 2π; amplitude |A|; period P = 2π/|B| for y = A sin(Bx − C) + D: .../pages/6-1-graphs-of-the-sine-and-cosine-functions)
- MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews: "The trigonometric functions" (first known table of chords by Hipparchus about 140 BC, founder of trigonometry; Ptolemy's 360° and Babylonian influence; Aryabhata about 500 used jya for sine; Brahmagupta 628; Abu'l-Wafa 980; jya → jiba → jaib (fold) → Latin sinus; Regiomontanus' De triangulis written about 1464, published 1533; tangent named by Thomas Fincke in 1583; Gunter co-sinus 1620, abbreviation sin 1624; Hérigone first used sin in a book in 1634; Thales used shadows to find the heights of pyramids: mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Trigonometric_functions/) and "Thales of Miletus" (Hieronymus via Diogenes Laertius: shadows measured when our shadows equal our height; Plutarch's version with a stick at the end of the pyramid's shadow and two triangles in the same ratio: mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Thales/)
- OpenStax Calculus Volume 1, 3.5 Derivatives of Trigonometric Functions (d/dx sin x = cos x with x in radians: openstax.org/books/calculus-volume-1/pages/3-5-derivatives-of-trigonometric-functions)
Проверено: 2026-10-17