Radians et cercle trigonométrique

Pose le rayon d'un cercle le long de son bord : l'angle qu'il couvre est un radian, environ 57.3°. Il en faut un peu plus de six pour faire le tour du cercle.

Mesurer les angles avec le rayon

Les degrés sont un choix humain : 360 parts d'un tour, un nombre hérité de l'astronomie babylonienne. Les radians viennent du cercle lui-même. Le manuel Precalculus d'OpenStax définit un radian comme l'angle au centre dont l'arc a la même longueur que le rayon. Comme la circonférence d'un cercle vaut 2πr, exactement 2π longueurs de rayon en font le tour : un tour complet vaut donc 2π radians. Cela fixe la conversion : 2π rad = 360°, soit π rad = 180°.

Pour passer des degrés aux radians, multiplie par π/180. Pour revenir en arrière, multiplie par 180/π. Ainsi 45° = 45 × π/180 = π/4, 30° = π/6 et 90° = π/2, tandis que 2π/3 radians font 2π/3 × 180/π = 120°. Un radian vaut 180/π ≈ 57.2958°. Les radians simplifient la longueur d'un arc : un angle de θ radians découpe un arc de longueur s = rθ. Sur un cercle de rayon 5 cm, 2 radians découpent un arc de 10 cm. En degrés, il faut d'abord convertir : 60° sur un cercle de rayon 10 cm font π/3 radians, ce qui donne un arc de 10π/3 ≈ 10.47 cm.

Le cercle trigonométrique

Un triangle rectangle n'a que des angles jusqu'à 90°, mais les rotations vont plus loin. Le cercle trigonométrique supprime cette limite. C'est le cercle de rayon 1 centré à l'origine. Pars du point (1, 0) et tourne dans le sens inverse des aiguilles d'une montre d'un angle t. Precalculus définit le cosinus de t comme l'abscisse du point atteint et le sinus de t comme son ordonnée : (x, y) = (cos t, sin t). Pour les angles entre 0° et 90°, cela correspond au triangle : le rayon est une hypoténuse de longueur 1, donc le côté horizontal vaut cos t et le côté vertical sin t.

Au-delà de 90°, les coordonnées prennent des signes. À 150°, le point est en haut à gauche, donc cos 150° = −√3/2 et sin 150° = 1/2. À 180°, le point est (−1, 0). Dans le troisième quadrant, les deux coordonnées sont négatives, donc sin 210° = −1/2. La tangente vaut y/x, la pente du rayon, et elle n'existe pas à 90° et 270°, où x = 0.

cos² + sin² = 1

Chaque point du cercle trigonométrique est à la distance 1 de l'origine, donc x² + y² = 1. En remplaçant x par cos t et y par sin t, on obtient cos²t + sin²t = 1, que Precalculus appelle l'identité de Pythagore. Elle permet de trouver une valeur à partir de l'autre. Si sin t = 3/5 et que l'angle est dans le deuxième quadrant, cos²t = 1 − 9/25 = 16/25, et comme x y est négatif, cos t = −4/5.

Pourquoi s'embêter avec les radians ? Parce qu'ils rendent les formules plus simples. La longueur d'arc s = rθ n'a pas de facteur π/180 parasite, et en analyse, la dérivée de sin x n'est cos x que si x est en radians. C'est pourquoi la plupart des sciences et tous les cours d'analyse travaillent en radians, et les degrés restent pour les angles de tous les jours, comme les caps de boussole et les pentes de toit.