Resolver triángulos rectángulos

Un lado y un ángulo agudo bastan para hallar todo lo demás de un triángulo rectángulo. Con el lado 7 opuesto a un ángulo de 30°, la hipotenusa mide exactamente 14.

Hallar un lado que falta

OpenStax lo dice claramente: la verdadera potencia de la trigonometría del triángulo rectángulo se ve cuando conoces un ángulo pero no todos los lados. El método tiene tres pasos. Primero elige la razón que contiene el lado que buscas y un lado que conoces. Luego escribe la ecuación con el ángulo conocido. Por último, despeja la incógnita. Toma el propio ejemplo de OpenStax: ángulo de 30°, cateto opuesto 7 y cateto adyacente a desconocido. La tangente relaciona el opuesto y el adyacente, así que tan 30° = 7/a, que se reorganiza como a = 7 / tan 30° ≈ 12.1. Para la hipotenusa c, el seno relaciona el opuesto y la hipotenusa: sin 30° = 7/c, así que c = 7 / sin 30° = 14.

Fíjate en dónde está la incógnita. Si está arriba en la fracción, multiplicas: una escalera de 5 m apoyada formando 75° con el suelo llega a una altura de 5 sin 75° ≈ 4.83 m, y su pie queda a 5 cos 75° ≈ 1.29 m de la pared. Si la incógnita está abajo, divides, como en el 7 / tan 30° de antes. Una comprobación rápida: la hipotenusa tiene que salir más larga que los dos catetos, y el cateto opuesto al ángulo agudo mayor tiene que ser el cateto más largo.

Hallar un ángulo que falta

A veces conoces dos lados y buscas el ángulo. Entonces recorres una razón al revés con una función inversa, que se escribe sin⁻¹, cos⁻¹ y tan⁻¹ (también llamadas arcoseno, arcocoseno y arcotangente). Si el cateto opuesto mide 3 y el adyacente 4, entonces tan θ = 3/4 = 0.75 y θ = tan⁻¹(0.75) ≈ 36.87°. El otro ángulo agudo es 90 − 36.87 = 53.13°. Aquí el −1 es un nombre, no una potencia: sin⁻¹ x significa "el ángulo cuyo seno es x", no 1 / sin x.

Resolver el triángulo completo

Resolver un triángulo rectángulo significa hallar los tres lados y los dos ángulos agudos. A partir de dos lados, usa el teorema de Pitágoras para el tercero y una función inversa para un ángulo; el último ángulo es 90° menos el primero. A partir de un lado y un ángulo, el otro ángulo agudo es 90° menos el dado, y dos razones dan los lados que faltan. Con catetos de 6 y 8, por ejemplo, la hipotenusa es √(36 + 64) = 10, el ángulo opuesto a 6 es tan⁻¹(6/8) ≈ 36.87° y el otro ángulo mide unos 53.13°. Es el triángulo 3-4-5 multiplicado por 2, así que los ángulos coinciden.

Ayuda comprobar una respuesta con una segunda razón. En el ejemplo de OpenStax, los lados salieron 7, unos 12.12 y 14. Entonces cos 30° debería ser igual a 12.12 / 14 ≈ 0.866, y lo es: cos 30° = √3/2 ≈ 0.866. Si no coinciden, uno de los lados se halló con la razón equivocada.