공기 저항과 종단 속도

30 m/s, 45°로 던진 공은 진공에서라면 92 m를 가지만, 공기가 밀어내면 모형 공은 약 60 m에 떨어집니다.

공기가 밀어냅니다

달리는 차의 창밖으로 손을 내밀면 공기 저항을 느낄 수 있습니다. 공기 저항은 다른 말로 끌림힘(drag)이라고도 부릅니다. 이 힘은 언제나 물체가 운동하는 방향의 반대쪽을 향하고, 속력이 커질수록 빠르게 커집니다. 공기 속을 보통의 빠르기로 움직이는 공, 자전거, 자동차에 대해서는, OpenStax 대학 물리 교재가 끌림힘을 구하는 식을 F_D = ½ C ρ A v²으로 줍니다. 이 식에서 ρ는 공기의 밀도이고, A는 흐름을 정면으로 마주하는 넓이이며, C는 물체의 모양에 따라 달라지는 끌림 계수, v는 속력입니다. 풍동 실험으로 잰 C의 값은 공 모양이 약 0.45, 유선형 승용차가 0.28, 엎드린 자세의 스카이다이버가 약 1.0입니다.

이 식에서 중요한 부분은 v²입니다. 속력이 2배가 되면 끌림힘은 4배로 커집니다. 느리게 움직이는 공은 공기를 거의 느끼지 않지만, 빠르게 움직이는 공은 공기에 세게 밀립니다. 그래서 살살 던진 콩주머니에는 공기 저항이 별로 중요하지 않지만, 배트로 친 야구공이나 빠르게 달리는 자동차에는 아주 크게 작용합니다. 자동차에 대해 OpenStax는 고속도로 속력에서 엔진 힘의 절반 넘게가 공기를 밀어내는 데 쓰인다고 적고 있습니다.

한쪽으로 기운 경로

실험실에서 공기 저항을 켜고 모형 공을 30 m/s, 45°로 쏘아 보세요. 공기가 없다면 이 공은 91.7 m를 날아갑니다. 공기가 있으면 약 60.0 m 지점에 떨어지는데, 거리가 3분의 1만큼 짧아진 것입니다. 공이 지나간 경로도 더 이상 좌우가 대칭인 포물선이 아닙니다. 공은 가파른 각도로 올라간 다음, 올라갈 때보다 더 가파르게 떨어집니다. 공이 내려올 즈음에는 이미 가로 방향의 속력을 많이 잃어버렸기 때문입니다. 그리고 가장 높은 점도 공이 떨어지는 지점 쪽으로 더 가까이 옮겨 갑니다.

이번에는 실험실을 화성으로 바꿔 보세요. 화성에도 공기는 있습니다. 하지만 NASA 자료에 따르면 표면 공기 밀도가 약 0.016 kg/m³로 지구(약 1.2 kg/m³)보다 훨씬 옅습니다. 그래서 끌림힘도 약 75분의 1로 약합니다. 화성에서 공기가 있을 때와 없을 때 남겨 둔 두 경로는 거의 겹칩니다. 달에는 공기가 사실상 전혀 없어서, 공기 저항 스위치를 켜든 끄든 실험실이 정확히 똑같은 경로를 그립니다.

종단 속도

이번에는 비행기에서 뛰어내린 스카이다이버를 한번 생각해 보세요. 처음에는 속력이 낮아서 끌림힘이 작으므로, 스카이다이버는 거의 g에 가까운 가속도로 빨라집니다. 속력이 커지면 끌림힘도 함께 커지고, 아래쪽으로 작용하는 알짜힘은 점점 줄어듭니다. 마침내 끌림힘이 무게와 같아지는 때가 옵니다. 그러면 두 힘이 평형을 이루어 가속도가 0으로 떨어지고, 속력은 더 이상 늘지 않습니다. 이때의 최고 속력을 종단 속도(terminal velocity)라고 합니다. 끌림힘 ½ C ρ A v²을 무게 m g와 같다고 놓고 v에 대해 풀면 v_t = √(2 m g ÷ ρ C A)입니다.

OpenStax 교재에는 이것을 계산한 예제가 두 개 있습니다. 첫째로, 머리부터 아래로 내려가는 75 kg의 스카이다이버는 정면 넓이 약 0.18 m², C ≈ 0.70으로 약 98 m/s, 시속 약 350 km에 이릅니다. 둘째로, 팔다리를 쫙 펴고 엎드린 자세의 85 kg 스카이다이버는 넓이 약 0.70 m², C ≈ 1.0으로 약 44 m/s에 그칩니다. 실험실에 있는 모형 공은 종단 속도가 약 35 m/s입니다. 그래서 공을 빠르게 쏠수록 사거리를 그만큼 많이 잃게 됩니다. 낙하산을 펴면 A와 C가 엄청나게 커지고, 그 덕분에 종단 속도는 땅에 안전하게 내려앉을 수 있을 만큼 낮아집니다.