포물선 운동

20 m/s, 45°로 던진 공은 2.9초 동안 날아 약 41 m 떨어진 곳에 떨어집니다.

두 운동이 동시에

던진 공, 호스에서 뿜어 나온 물줄기, 멀리뛰기 선수는 모두 같은 종류의 휘어진 길을 따라갑니다. 이 길을 포물선(parabola)이라고 합니다. 이 곡선은 복잡해 보이지만, 사실은 단순한 운동 두 개가 함께 일어나는 것입니다. 옆 방향으로는 공이 손을 떠난 뒤 공을 밀거나 당기는 것이 아무것도 없으므로(공기는 무시합니다) 가로 속도가 변하지 않고 그대로입니다. 위아래 방향으로는 자유 낙하 때와 똑같이 중력이 공을 g로 가속합니다. 그리고 이 두 운동은 서로에게 아무 영향도 주지 않습니다. 갈릴레오는 『새로운 두 과학』의 넷째 날 부분에서 이것을 설명했습니다. 그리고 지금도 모든 물리 교과서가 포물선 운동을 바로 여기서부터 시작합니다.

이것은 동전 두 개로 직접 확인할 수 있습니다. 탁자 끝에서 동전 하나는 손가락으로 튕겨 옆으로 내보내고, 바로 같은 순간에 다른 하나는 같은 끝에서 그냥 떨어뜨립니다. 그러면 두 동전이 바닥에 함께 닿는 소리가 귀에 들릴 것입니다. 튕겨 낸 동전은 옆으로도 움직입니다. 하지만 아래로 떨어지는 운동만 보면, 그냥 떨어뜨린 동전과 똑같은 자유 낙하를 하고 있습니다.

처음 속도를 둘로 나누기

공이 땅에서 속력 v, 수평 위로 각도 θ로 떠나면 속도는 가로 성분 v_x = v cos θ와 세로 성분 v_y = v sin θ로 나뉩니다. 예를 들어 20 m/s, 45°라면 두 성분은 모두 20 × 0.707 ≈ 14.1 m/s입니다. 그다음부터는 자유 낙하로 나머지가 모두 풀립니다. 공은 v_y가 0이 될 때까지 v_y ÷ g 동안 올라가고, 같은 시간 동안 내려옵니다. 그래서 공이 공중에 떠 있는 시간은 T = 2 v sin θ ÷ g, 최고 높이는 H = (v sin θ)² ÷ 2g입니다. 사거리는 가로 방향의 속력 × 시간 = v cos θ × T이고, 정리하면 R = v² sin 2θ ÷ g가 됩니다.

지구에서 20 m/s, 45°라는 숫자를 이 식들에 넣어 봅시다. T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88초, H ≈ 10.2 m, R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 m입니다. 실험실을 처음 열었을 때 화면에 나오는 값이 바로 이 값들입니다.

사거리 공식이 알려 주는 것

sin 2θ는 2θ = 90°일 때 가장 크므로, 평평한 땅에서 공이 가장 멀리 가는 각도는 45°입니다. 그리고 더해서 90°가 되는 두 각은 사거리가 서로 같습니다. 20 m/s로 30°와 60°로 던지면 둘 다 약 35.3 m를 가지만, 60°로 던진 공이 더 높이 올라가고 공중에 더 오래 떠 있습니다. 공식에 들어 있는 v²은 속력이 아주 중요하다는 뜻입니다. 던지는 처음 속력을 2배로 하면 사거리는 4배로 길어집니다. 그리고 공식의 분모에는 g가 들어 있습니다. g가 지구의 약 6분의 1인 달에서는 같은 공이 약 6배 멀리 갑니다. 실험실에서 달을 고르고 20 m/s, 45°로 쏘아 보세요. 약 247 m가 나옵니다.

이 공식들은 몇 가지를 가정합니다. 땅이 평평하고, 공을 땅 높이에서 쏘며, 공기가 없다는 것입니다. 실제 공은 공기 저항 때문에 사거리를 조금 잃습니다. 공기 저항은 다음 단원에서 다룹니다.

운동 경기에는 포물선을 그리며 날아가는 것이 가득합니다. 예를 들어 멀리뛰기 선수는 45°보다 훨씬 낮은 각도로 땅을 박차고 뛰어오릅니다. 세계 정상급 선수의 영상을 재 보면 약 21°입니다. 달리던 빠르기는 살리기 쉽지만 가파르게 솟구치기는 어렵고, 착지할 때 몸이 뛰어오른 높이보다 낮기 때문입니다. 농구 슛은 최고점까지 올라갔다가 가파른 각도로 림 안에 떨어지는데, 그렇게 떨어져야 공이 들어갈 목표가 더 넓어집니다. 어느 경우든 똑같은 두 규칙이 적용됩니다. 옆으로는 일정한 운동을 하고, 위아래로는 자유 낙하를 합니다.