投射運動

球を20 m/s、45°で投げると、2.9秒間飛び、約41 m先に着地します。

二つの運動が同時に起こります

投げた球、ホースから出る水、走り幅跳びの選手は、どれも放物線という曲線を描きます。複雑に見えますが、二つの単純な運動が同時に起きています。水平方向では、球が手を離れた後は押す力も引く力も働かないので、空気を無視すると速度は一定です。上下方向では自由落下と同じく、重力によってgの加速度が生じます。この二つの運動は互いに影響しません。ガリレオは『Two New Sciences』の第4日でこれを説明しました。今でも物理の教科書の出発点です。

二枚の硬貨で確かめられます。机の端から一枚を横にはじき出すと同時に、もう一枚を同じ端から落とします。床に当たる音は同時に聞こえます。はじいた硬貨は横にも進みますが、下向きの運動は、ただ落とした硬貨と同じ自由落下です。

投げ出す速度を成分に分ける

球が水平面に対して角度θ、速さvで地面から飛び出すと、速度は水平成分v_x = v cos θと鉛直成分v_y = v sin θに分けられます。20 m/s、45°なら、どちらも20 × 0.707 ≈ 14.1 m/sです。あとは自由落下の式から求まります。球はv_yがゼロになるまで上がり、その時間はv_y ÷ gです。下りるにも同じ時間がかかるので、飛行時間はT = 2 v sin θ ÷ gとなります。最高点の高さはH = (v sin θ)² ÷ 2gです。飛距離は水平の速さ × 時間 = v cos θ × Tで、整理するとR = v² sin 2θ ÷ gになります。

地球で20 m/s、45°の場合を代入すると、T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88 s、H ≈ 10.2 m、R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 mです。実験室を開いたときに表示される値です。

飛距離の式からわかること

sin 2θは2θ = 90°のとき最大なので、平らな地面では45°で最も遠くまで飛びます。足して90°になる角度では飛距離が同じです。20 m/sで投げた球は30°でも60°でも約35.3 m飛びますが、60°のほうが高く上がり、長く飛びます。式にv²があるので、速さの影響は大きく、投げ出す速さを2倍にすると飛距離は4倍になります。また、分母はgです。gが地球の約六分の一の月では、同じように投げると約六倍遠くまで飛びます。実験室で月を選び、20 m/s、45°にすると約247 mになります。

これらの式は、地面が水平で、地面の高さから投げ出し、空気がないと仮定しています。実際の球は空気抵抗で飛距離が短くなります。次の単元で扱います。

スポーツには投射運動がよく登場します。走り幅跳びの踏み切り角度は45°より小さく、世界トップ選手の映像測定では約21°です。走る速さを保つのは比較的容易でも、急な角度で跳び上がるのは難しく、着地時の体の位置も踏み切り時より低いためです。バスケットボールのシュートは最高点まで上がった後、急な角度でリングへ落ちます。そのほうが狙える範囲が広がります。どちらも、水平方向の一定の運動と上下方向の自由落下という同じ二つの規則に従います。