Lançamento de projéteis

Uma bola lançada a 20 m/s e 45° fica no ar por 2.9 segundos e cai a cerca de 41 m de distância.

Dois movimentos ao mesmo tempo

Uma bola lançada, um jato de água de uma mangueira e um atleta no salto em distância seguem o mesmo tipo de trajetória curva, uma parábola. A curva parece complicada, mas resulta de dois movimentos simples que acontecem juntos. Na horizontal, nada empurra ou puxa a bola depois que ela sai da mão (desprezando o ar), então sua velocidade horizontal permanece constante. Na vertical, a gravidade a acelera com g, exatamente como na queda livre. Os dois movimentos não interferem um no outro. Galileu descreveu isso na quarta jornada de Duas novas ciências, e esse ainda é o ponto de partida em todos os livros de física.

Você pode testar isso com duas moedas. Dê um peteleco em uma moeda para que saia da borda de uma mesa, enquanto solta a outra da mesma borda no mesmo instante. Você ouvirá as duas baterem no chão juntas. A moeda lançada também se desloca para o lado, mas seu movimento para baixo é a mesma queda livre da moeda solta.

Decompondo a velocidade de lançamento

Se uma bola sai do solo com rapidez v e ângulo θ acima da horizontal, sua velocidade se decompõe em uma componente horizontal v_x = v cos θ e uma vertical v_y = v sin θ. A 20 m/s e 45°, ambas são 20 × 0.707 ≈ 14.1 m/s. A partir daí, o restante vem da queda livre. A bola sobe até v_y chegar a zero, o que leva v_y ÷ g, e demora o mesmo tempo para descer. Portanto, o tempo no ar é T = 2 v sin θ ÷ g. A altura máxima é H = (v sin θ)² ÷ 2g. O alcance é rapidez horizontal × tempo = v cos θ × T, que se simplifica para R = v² sin 2θ ÷ g.

Substitua os valores para 20 m/s a 45° na Terra: T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88 s, H ≈ 10.2 m, R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 m. Esses são os valores que o laboratório mostra ao abrir.

O que a fórmula do alcance revela

Como sin 2θ é máximo quando 2θ = 90°, o maior alcance em terreno plano ocorre a 45°. Ângulos cuja soma é 90° produzem o mesmo alcance: 30° e 60° lançam uma bola a 20 m/s por cerca de 35.3 m, mas o lançamento a 60° sobe mais e fica mais tempo no ar. O v² na fórmula mostra que a rapidez tem grande influência: dobre a rapidez de lançamento e o alcance será quatro vezes maior. E g está no denominador: na Lua, onde g é aproximadamente um sexto do valor terrestre, o mesmo lançamento vai cerca de seis vezes mais longe. Experimente 20 m/s a 45° na Lua no laboratório: o alcance é de aproximadamente 247 m.

Essas fórmulas pressupõem terreno plano, lançamento do nível do solo e ausência de ar. Bolas reais perdem parte do alcance por causa da resistência do ar, assunto da próxima aula.

O esporte está cheio de projéteis. Um atleta de salto em distância decola com um ângulo menor que 45°, cerca de 21° em medições por vídeo de atletas de nível mundial, porque é fácil manter a rapidez da corrida, mas difícil saltar muito para cima, e o corpo aterrissa mais baixo do que decolou. Um arremesso de basquete sobe até o ponto mais alto e desce para a cesta com um ângulo acentuado, o que oferece um alvo mais amplo. Em cada caso, valem as mesmas duas regras: movimento horizontal uniforme e queda livre na vertical.