Moto dei proiettili

Una pallina lanciata a 20 m/s con un angolo di 45° rimane in aria per 2.9 secondi e atterra a circa 41 m di distanza.

Due moti contemporanei

Una pallina lanciata, il getto d'acqua di un tubo e un atleta nel salto in lungo seguono lo stesso tipo di traiettoria curva: una parabola. La curva sembra complicata, ma nasce da due moti semplici che avvengono insieme. In orizzontale, una volta lasciata la mano, nessuna forza spinge o tira la pallina (trascurando l'aria), quindi la velocità orizzontale resta costante. In verticale, la gravità la accelera con accelerazione g, proprio come nella caduta libera. I due moti non si influenzano a vicenda. Galileo lo descrisse nella quarta giornata dei Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze, e ancora oggi è il punto di partenza di ogni manuale di fisica.

Puoi verificarlo con due monete. Spingine una oltre il bordo di un tavolo mentre lasci cadere l'altra dallo stesso bordo nello stesso istante. Le sentirai toccare il pavimento insieme. La moneta spinta si muove anche di lato, ma in verticale compie la stessa caduta libera dell'altra.

Scomporre la velocità di lancio

Se una pallina lascia il suolo con velocità v e angolo θ sopra l'orizzontale, la velocità si scompone in una componente orizzontale v_x = v cos θ e una verticale v_y = v sin θ. A 20 m/s e 45°, entrambe valgono 20 × 0.707 ≈ 14.1 m/s. Il resto si ricava dalla caduta libera. La pallina sale finché v_y si annulla, dopo un tempo v_y ÷ g, e impiega lo stesso tempo a scendere. Il tempo di volo è quindi T = 2 v sin θ ÷ g. L'altezza massima è H = (v sin θ)² ÷ 2g. La gittata è velocità orizzontale × tempo = v cos θ × T, che si semplifica in R = v² sin 2θ ÷ g.

Inseriamo i valori per 20 m/s a 45° sulla Terra: T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88 s, H ≈ 10.2 m, R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 m. Sono i valori mostrati all'apertura del laboratorio.

Che cosa ci dice la formula della gittata

Poiché sin 2θ è massimo quando 2θ = 90°, su terreno piano la gittata massima si ottiene a 45°. Angoli la cui somma è 90° danno la stessa gittata: a 30° e a 60° una pallina lanciata a 20 m/s percorre circa 35.3 m, ma il lancio a 60° sale più in alto e rimane in aria più a lungo. Il termine v² mostra quanto conti la velocità: raddoppiando la velocità di lancio, la gittata quadruplica. E g è al denominatore: sulla Luna, dove g è circa un sesto del valore terrestre, lo stesso lancio arriva circa sei volte più lontano. Prova nel laboratorio 20 m/s a 45° sulla Luna: otterrai circa 247 m.

Queste formule presuppongono terreno piano, lancio dal livello del suolo e assenza d'aria. Le palline reali perdono parte della gittata per la resistenza dell'aria, argomento della prossima lezione.

Nello sport il moto dei proiettili è ovunque. Nel salto in lungo l'atleta si stacca con un angolo inferiore a 45°, circa 21° nelle misurazioni video di atleti di livello mondiale: è facile mantenere la velocità di corsa, ma difficile saltare molto verso l'alto, e il corpo atterra più in basso rispetto allo stacco. Un tiro a canestro sale fino a un massimo e poi entra nel cerchio con un angolo ripido, che offre un bersaglio più ampio. In ogni caso valgono le stesse due regole: moto orizzontale uniforme e caduta libera in verticale.