Resistenza dell'aria e velocità limite

Lanciata a 30 m/s e 45°, una pallina atterrerebbe a 92 m nel vuoto; con la resistenza dell'aria, la pallina del nostro modello atterra a circa 60 m.

L'aria si oppone al moto

Se metti una mano fuori dal finestrino dell'auto, senti la resistenza dell'aria, detta anche resistenza aerodinamica. È sempre opposta al moto e cresce rapidamente con la velocità. Per una pallina, una bicicletta o un'auto che si muove nell'aria a velocità ordinarie, OpenStax College Physics esprime la forza di resistenza come F_D = ½ C ρ A v². Qui ρ è la densità dell'aria, A è l'area esposta al flusso, C è un coefficiente di resistenza che dipende dalla forma e v è la velocità. Le prove in galleria del vento danno C circa 0.45 per una sfera, 0.28 per un'auto familiare aerodinamica e circa 1.0 per un paracadutista disteso orizzontalmente.

Il termine decisivo è v². Raddoppiando la velocità, la resistenza quadruplica. Su una pallina lenta l'aria incide appena; su una veloce esercita una forte spinta contraria. Per questo la resistenza dell'aria conta poco per un sacchetto di fagioli lanciato piano, ma molto per una palla da baseball colpita con forza o per un'auto veloce: OpenStax osserva che, alla velocità autostradale, più della metà della potenza del motore serve a spostare l'aria.

Una traiettoria asimmetrica

Lancia la pallina del modello nel laboratorio a 30 m/s e 45°, con la resistenza dell'aria attiva. Senza aria percorrerebbe 91.7 m. Con l'aria atterra a circa 60.0 m, un terzo in meno. La traiettoria non è più una parabola simmetrica. Sale con un angolo ripido e poi scende ancora più ripidamente, perché durante la discesa ha ormai perso buona parte della velocità orizzontale. Anche il punto più alto si sposta verso il punto di atterraggio.

Ora passa a Marte. Marte ha un'atmosfera, ma la NASA ne indica una densità al suolo di circa 0.016 kg/m³, contro circa 1.2 kg/m³ sulla Terra: la resistenza è quindi circa 75 volte più debole. Le traiettorie conservate per Marte, con e senza aria, quasi si sovrappongono. Sulla Luna l'aria è praticamente assente e il laboratorio disegna esattamente la stessa traiettoria con l'interruttore attivo o disattivo.

Velocità limite

Pensa a un paracadutista che si lancia da un aereo. All'inizio la velocità è bassa, quindi la resistenza è piccola e il paracadutista accelera quasi con g. All'aumentare della velocità cresce la resistenza e diminuisce la forza risultante verso il basso. Alla fine la resistenza uguaglia il peso. Le forze si equilibrano, l'accelerazione si annulla e la velocità smette di aumentare. Questa velocità massima è la velocità limite. Ponendo ½ C ρ A v² uguale a m g si ottiene v_t = √(2 m g ÷ ρ C A).

OpenStax svolge due esempi. Un paracadutista di 75 kg in picchiata a testa in giù, con area frontale di circa 0.18 m² e C ≈ 0.70, raggiunge circa 98 m/s, ossia circa 350 km/h. Un paracadutista di 85 kg disteso orizzontalmente, con area di circa 0.70 m² e C ≈ 1.0, raggiunge solo circa 44 m/s. La pallina del modello nel laboratorio ha una velocità limite di circa 35 m/s: ecco perché i lanci veloci perdono tanta gittata. Aprire un paracadute aumenta enormemente A e C e riduce la velocità limite fino a un valore che consente di atterrare.