Сопротивление воздуха и установившаяся скорость падения

При броске со скоростью 30 м/с под углом 45° мяч в вакууме упал бы в 92 м от старта; с сопротивлением воздуха наш модельный мяч падает примерно в 60 м.

Воздух сопротивляется движению

Высуни руку из окна автомобиля, и ты почувствуешь сопротивление воздуха. Оно всегда направлено против движения и быстро растёт с увеличением скорости. Для мяча, велосипеда или автомобиля, движущихся в воздухе с обычными скоростями, учебник OpenStax College Physics приводит формулу силы сопротивления F_D = ½ C ρ A v². Здесь ρ обозначает плотность воздуха, A площадь поперечного сечения, обращённого к потоку, C коэффициент сопротивления, зависящий от формы, а v модуль скорости. Испытания в аэродинамической трубе дают C около 0.45 для сферы, 0.28 для обтекаемого семейного автомобиля и около 1.0 для парашютиста в горизонтальном положении.

Самое важное здесь v². Удвой скорость, и сопротивление вырастет в четыре раза. Медленный мяч почти не ощущает воздуха, а быстрый испытывает сильное сопротивление. Поэтому воздух мало влияет на слегка подброшенный мешочек с наполнителем, но сильно влияет на отбитый бейсбольный мяч или быстрый автомобиль. По данным OpenStax, на шоссейной скорости более половины мощности двигателя автомобиля тратится на преодоление сопротивления воздуха.

Несимметричная траектория

В лаборатории брось модельный мяч со скоростью 30 м/с под углом 45° при включённом сопротивлении воздуха. Без воздуха он пролетел бы 91.7 м. С воздухом он падает примерно через 60.0 м, на треть ближе. Траектория уже не является симметричной параболой. Мяч поднимается круто, но падает ещё круче, потому что к моменту спуска теряет значительную часть горизонтальной скорости. Верхняя точка тоже смещается ближе к месту падения.

Теперь переключись на Марс. Там есть атмосфера, но, по данным NASA, её плотность у поверхности составляет около 0.016 кг/м³ против примерно 1.2 кг/м³ на Земле. Поэтому сопротивление примерно в 75 раз слабее. Сохранённые марсианские траектории с воздухом и без него почти совпадают. На Луне воздуха практически нет, и лаборатория рисует одну и ту же траекторию независимо от положения переключателя.

Установившаяся скорость падения

Представь парашютиста, выпрыгнувшего из самолёта. Сначала скорость мала, сопротивление невелико и ускорение почти равно g. По мере роста скорости сопротивление увеличивается, а равнодействующая сил, направленная вниз, уменьшается. Наконец, сопротивление сравнивается с силой тяжести. Силы уравновешиваются, ускорение становится нулевым, и скорость перестаёт расти. Это предельная, или установившаяся, скорость падения. Приравняв ½ C ρ A v² к m g, получим v_t = √(2 m g ÷ ρ C A).

В OpenStax разобраны два примера. Парашютист массой 75 кг, падающий головой вниз, с площадью поперечного сечения около 0.18 м² и C ≈ 0.70 достигает примерно 98 м/с, или около 350 км/ч. Парашютист массой 85 кг в горизонтальном положении с площадью около 0.70 м² и C ≈ 1.0 достигает лишь примерно 44 м/с. У модельного мяча в лаборатории установившаяся скорость падения составляет около 35 м/с. Поэтому при быстрых бросках дальность так сильно сокращается. Раскрытие парашюта резко увеличивает A и C, и предельная скорость снижается до значения, при котором можно приземлиться.