Движение тела, брошенного под углом к горизонту

Мяч, брошенный со скоростью 20 м/с под углом 45°, остаётся в воздухе 2.9 секунды и падает примерно в 41 м от места броска.

Два движения одновременно

Брошенный мяч, струя воды из шланга и прыгун в длину движутся по однотипной кривой, параболе. Кривая кажется сложной, но складывается из двух простых одновременных движений. По горизонтали после отрыва от руки на мяч ничто не действует, если пренебречь воздухом, поэтому его горизонтальная скорость постоянна. По вертикали сила тяжести сообщает ускорение g, как при свободном падении. Эти два движения не влияют друг на друга. Галилей описал это в четвёртом дне «Бесед и математических доказательств, касающихся двух новых отраслей науки». С этого до сих пор начинается объяснение в учебниках физики.

Проверь это на двух монетах. Одну щелчком отправь за край стола, а другую в тот же момент отпусти с того же края. Ты услышишь, что они ударятся о пол одновременно. Первая монета движется ещё и по горизонтали, но её движение вниз представляет собой такое же свободное падение, как у второй.

Разложение начальной скорости

Если мяч покидает землю со скоростью v под углом θ к горизонту, его скорость раскладывается на горизонтальную составляющую v_x = v cos θ и вертикальную v_y = v sin θ. При 20 м/с и 45° обе составляющие равны 20 × 0.707 ≈ 14.1 м/с. Дальнейшее следует из свободного падения. Мяч поднимается, пока v_y не станет равной нулю, за время v_y ÷ g. Ещё столько же занимает спуск. Значит, время полёта T = 2 v sin θ ÷ g. Наибольшая высота H = (v sin θ)² ÷ 2g. Дальность равна горизонтальной скорости, умноженной на время: v cos θ × T. После упрощения получаем R = v² sin 2θ ÷ g.

Подставим 20 м/с и 45° для Земли: T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88 с, H ≈ 10.2 м, R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 м. Именно эти значения показывает лаборатория при открытии.

Что говорит формула дальности

Поскольку sin 2θ достигает максимума при 2θ = 90°, на ровной поверхности наибольшая дальность получается при 45°. Углы, сумма которых равна 90°, дают одинаковую дальность: и 30°, и 60° отправляют мяч при 20 м/с примерно на 35.3 м. Но при 60° мяч поднимается выше и дольше остаётся в воздухе. Наличие v² в формуле показывает сильное влияние скорости: удвоение начальной скорости увеличивает дальность в четыре раза. А g стоит в знаменателе: на Луне, где оно примерно в шесть раз меньше земного, тот же бросок получается примерно в шесть раз дальше. Попробуй в лаборатории бросок при 20 м/с и 45° на Луне: получится около 247 м.

Эти формулы предполагают ровную поверхность, бросок с уровня земли и отсутствие воздуха. У настоящих мячей сопротивление воздуха сокращает дальность. Об этом пойдёт речь в следующем уроке.

В спорте часто встречается движение брошенных тел. Прыгун в длину отталкивается под углом меньше 45°, примерно 21° по видеозаписям выступлений спортсменов мирового уровня. Сохранить скорость разбега легче, чем резко прыгнуть вверх, а при приземлении тело оказывается ниже, чем при отталкивании. Баскетбольный мяч достигает вершины и круто опускается в кольцо, что делает цель шире. В каждом случае действуют те же два правила: равномерное горизонтальное движение и свободное падение по вертикали.