Worpbeweging

Een bal die met 20 m/s onder 45° wordt gegooid, blijft 2.9 seconden in de lucht en landt ongeveer 41 m verder.

Twee bewegingen tegelijk

Een gegooide bal, een waterstraal uit een tuinslang en een verspringer volgen allemaal hetzelfde soort gekromde baan: een parabool. De kromme lijkt ingewikkeld, maar bestaat uit twee eenvoudige bewegingen die tegelijk plaatsvinden. Horizontaal duwt of trekt niets aan de bal zodra hij je hand heeft verlaten, als we lucht negeren. Zijn horizontale vectorsnelheid blijft dus constant. Verticaal versnelt de zwaartekracht hem met g, precies zoals bij vrije val. De twee bewegingen beïnvloeden elkaar niet. Galileo beschreef dit op de vierde dag van Two New Sciences. Het is nog steeds het uitgangspunt van elk natuurkundeboek.

Je kunt dit met twee munten testen. Schiet één munt van de rand van een tafel en laat de andere op hetzelfde moment vanaf diezelfde rand vallen. Je hoort ze tegelijk de vloer raken. De weggeschoten munt beweegt ook opzij, maar zijn neerwaartse beweging is dezelfde vrije val als die van de losgelaten munt.

De beginsnelheid ontbinden

Als een bal de grond verlaat met snelheid v onder een hoek θ boven de horizontaal, splits je zijn vectorsnelheid in een horizontale component v_x = v cos θ en een verticale component v_y = v sin θ. Bij 20 m/s en 45° zijn beide componenten 20 × 0.707 ≈ 14.1 m/s. Daarna volgt de rest uit vrije val. De bal stijgt totdat v_y nul wordt. Dat duurt v_y ÷ g, waarna hij evenveel tijd nodig heeft om weer te dalen. De tijd in de lucht is dus T = 2 v sin θ ÷ g. Het hoogste punt is H = (v sin θ)² ÷ 2g. Het bereik is horizontale snelheid × tijd = v cos θ × T. Vereenvoudigd geeft dat R = v² sin 2θ ÷ g.

Vul de getallen in voor 20 m/s onder 45° op Aarde: T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88 s, H ≈ 10.2 m en R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 m. Dit zijn de waarden die het lab toont wanneer je het opent.

Wat vertelt de bereikformule?

Omdat sin 2θ het grootst is als 2θ = 90°, krijg je op vlakke grond het grootste bereik bij 45°. Hoeken die samen 90° zijn, geven hetzelfde bereik: bij 30° en 60° komt een bal met 20 m/s ongeveer 35.3 m ver. De worp onder 60° gaat wel hoger en blijft langer in de lucht. De v² in de formule betekent dat snelheid veel uitmaakt: verdubbel de beginsnelheid en het bereik wordt vier keer zo groot. En g staat in de noemer: op de Maan, waar g ongeveer een zesde van die op Aarde is, komt dezelfde worp ongeveer zes keer zo ver. Probeer in het lab 20 m/s onder 45° op de Maan en je krijgt ongeveer 247 m.

Deze formules veronderstellen een vlakke grond, een lancering vanaf grondhoogte en geen lucht. Echte ballen verliezen een deel van hun bereik door luchtweerstand. Dat is het onderwerp van de volgende les.

In de sport wemelt het van de projectielen. Een verspringer zet af onder een hoek kleiner dan 45°, volgens videometingen van wereldklasseverspringers ongeveer 21°. Loopsnelheid behouden is namelijk makkelijk, maar steil omhoog springen is moeilijk. Bovendien landt het lichaam lager dan het bij de afzet was. Een basketbalworp stijgt naar een hoogste punt en daalt onder een steile hoek in de ring, waardoor het doel ruimer wordt. In elk geval gelden dezelfde twee regels: gelijkmatige horizontale beweging en vrije val in verticale richting.