Luchtweerstand en eindsnelheid

Bij een worp met 30 m/s onder 45° zou een bal in vacuüm 92 m verder landen. Met tegenwerkende lucht landt onze modelbal op ongeveer 60 m.

Lucht werkt tegen

Steek je hand uit een autoraam en je voelt luchtweerstand. Die wijst altijd tegen de beweging in en neemt snel toe met de snelheid. Voor een bal, fiets of auto die met gewone snelheden door lucht beweegt, geeft OpenStax College Physics de weerstandskracht als F_D = ½ C ρ A v². Hier is ρ de dichtheid van de lucht, A het oppervlak dat naar de luchtstroom is gericht, C een van de vorm afhankelijke weerstandscoëfficiënt en v de snelheid. Windtunnelproeven geven C ongeveer 0.45 voor een bol, 0.28 voor een gestroomlijnde gezinsauto en ongeveer 1.0 voor een plat liggende parachutist.

De v² is het belangrijkste deel. Verdubbel de snelheid en de weerstand wordt vier keer zo groot. Een langzame bal merkt nauwelijks iets van de lucht, terwijl een snelle bal sterk wordt afgeremd. Daarom speelt luchtweerstand een kleine rol bij een zacht gegooid bonenzakje, maar een grote rol bij een geslagen honkbal of een snelle auto. Volgens OpenStax gaat bij een auto op snelwegsnelheid meer dan de helft van het motorvermogen naar het opzij duwen van lucht.

Een asymmetrische baan

Lanceer de modelbal in het lab met 30 m/s onder 45° en met Luchtweerstand aan. Zonder lucht zou hij 91.7 m ver vliegen. Met lucht landt hij op ongeveer 60.0 m, een derde minder ver. De baan is niet langer een symmetrische parabool. Hij stijgt onder een steile hoek en daalt nog steiler dan hij steeg, omdat de bal tegen de tijd dat hij daalt veel van zijn horizontale snelheid heeft verloren. Ook het hoogste punt verschuift dichter naar de landingsplek.

Schakel nu over naar Mars. Mars heeft lucht, maar NASA geeft een dichtheid aan het oppervlak van ongeveer 0.016 kg/m³, tegenover ongeveer 1.2 kg/m³ op Aarde. De weerstand is dus ruwweg 75 keer zwakker. De bewaarde banen voor Mars met en zonder lucht overlappen bijna. Op de Maan is vrijwel helemaal geen lucht. Het lab tekent daar exact dezelfde baan, of de schakelaar nu aan of uit staat.

Eindsnelheid

Denk aan een parachutist die uit een vliegtuig springt. In het begin is de snelheid laag, dus de luchtweerstand klein, en versnelt de parachutist met bijna g. Naarmate de snelheid toeneemt, groeit de luchtweerstand en wordt de resulterende neerwaartse kracht kleiner. Uiteindelijk is de luchtweerstand gelijk aan het gewicht. De krachten zijn in evenwicht, de versnelling wordt nul en de snelheid neemt niet meer toe. Deze maximale snelheid heet de eindsnelheid. Door ½ C ρ A v² gelijk te stellen aan m g krijg je v_t = √(2 m g ÷ ρ C A).

OpenStax werkt twee voorbeelden uit. Een parachutist van 75 kg die met het hoofd vooruit duikt, met een frontaal oppervlak van ongeveer 0.18 m² en C ≈ 0.70, bereikt ongeveer 98 m/s, zo’n 350 km/h. Een parachutist van 85 kg die plat uitgespreid ligt, met ongeveer 0.70 m² oppervlak en C ≈ 1.0, bereikt slechts ongeveer 44 m/s. Onze modelbal in het lab heeft een eindsnelheid van ongeveer 35 m/s. Daarom verliezen snelle lanceringen zoveel bereik. Door een parachute te openen worden A en C enorm veel groter en daalt de eindsnelheid tot een snelheid waarbij je kunt landen.