Luftwiderstand und Endgeschwindigkeit

Bei einem Wurf mit 30 m/s unter 45° würde ein Ball im Vakuum 92 m weit fliegen. Mit Luftwiderstand landet unser Modellball nach etwa 60 m.

Luft bremst

Hältst du deine Hand aus einem Autofenster, spürst du den Luftwiderstand. Er wirkt immer entgegen der Bewegung und wächst mit dem Tempo stark an. Für einen Ball, ein Fahrrad oder ein Auto bei üblichen Geschwindigkeiten in Luft gibt OpenStax College Physics die Widerstandskraft als F_D = ½ C ρ A v² an. Dabei ist ρ die Luftdichte, A die angeströmte Fläche, C ein von der Form abhängiger Widerstandsbeiwert und v das Tempo. Windkanalversuche ergeben für eine Kugel etwa C = 0.45, für einen strömungsgünstigen Familienwagen 0.28 und für eine flach liegende Person beim Fallschirmspringen etwa 1.0.

Entscheidend ist v². Bei doppeltem Tempo wird der Luftwiderstand viermal so groß. Ein langsamer Ball spürt die Luft kaum, ein schneller wird stark gebremst. Deshalb spielt der Luftwiderstand bei einem locker geworfenen Bohnensäckchen kaum eine Rolle, bei einem geschlagenen Baseball oder einem schnellen Auto dagegen sehr wohl. Laut OpenStax wird bei Autobahntempo mehr als die Hälfte der Motorleistung dafür gebraucht, Luft zu verdrängen.

Eine unsymmetrische Flugbahn

Wirf den Modellball im Labor mit 30 m/s unter 45° und eingeschaltetem Luftwiderstand. Ohne Luft würde er 91.7 m weit fliegen. Mit Luft landet er nach etwa 60.0 m, also nach einer um ein Drittel kürzeren Strecke. Seine Bahn ist keine symmetrische Parabel mehr. Er steigt steil auf und fällt noch steiler herunter, weil er beim Abstieg schon viel waagerechtes Tempo verloren hat. Auch der höchste Punkt liegt näher an der Landestelle.

Wechsle nun zum Mars. Dort gibt es Luft, aber laut NASA beträgt ihre Dichte an der Oberfläche nur etwa 0.016 kg/m³, gegenüber etwa 1.2 kg/m³ auf der Erde. Der Luftwiderstand ist daher ungefähr 75-mal schwächer. Die beibehaltenen Marsbahnen mit und ohne Luft liegen fast übereinander. Auf dem Mond gibt es praktisch gar keine Luft. Dort zeichnet das Labor genau dieselbe Bahn, ob der Schalter an oder aus ist.

Endgeschwindigkeit

Stell dir einen Fallschirmspringer vor, der aus einem Flugzeug springt. Anfangs ist sein Tempo gering und der Luftwiderstand klein. Er beschleunigt daher fast mit g. Mit zunehmendem Tempo wächst der Luftwiderstand und die resultierende Kraft nach unten wird kleiner. Schließlich ist der Luftwiderstand genauso groß wie die Gewichtskraft. Die Kräfte gleichen sich aus, die Beschleunigung sinkt auf null und das Tempo nimmt nicht mehr zu. Dieses Höchsttempo heißt Endgeschwindigkeit. Setzt man ½ C ρ A v² gleich m g, erhält man v_t = √(2 m g ÷ ρ C A).

OpenStax rechnet zwei Beispiele durch. Eine 75 kg schwere Person im Kopfsprung mit etwa 0.18 m² Stirnfläche und C ≈ 0.70 erreicht etwa 98 m/s, ungefähr 350 km/h. Eine 85 kg schwere Person in flacher, ausgestreckter Haltung mit etwa 0.70 m² Fläche und C ≈ 1.0 erreicht dagegen nur etwa 44 m/s. Unser Modellball im Labor hat eine Endgeschwindigkeit von etwa 35 m/s. Deshalb verlieren schnelle Würfe so viel an Weite. Beim Öffnen eines Fallschirms wachsen A und C enorm. Die Endgeschwindigkeit sinkt auf ein Tempo, bei dem eine Landung möglich ist.