Schiefer Wurf

Ein Ball, der mit 20 m/s unter 45° geworfen wird, bleibt 2.9 Sekunden in der Luft und landet etwa 41 m entfernt.

Zwei Bewegungen gleichzeitig

Ein geworfener Ball, der Wasserstrahl aus einem Schlauch und ein Weitspringer folgen derselben Art gekrümmter Bahn, einer Parabel. Die Kurve sieht kompliziert aus, besteht aber aus zwei einfachen gleichzeitigen Bewegungen. Seitlich wirkt nach dem Loslassen keine Kraft auf den Ball (ohne Luftwiderstand), daher bleibt seine waagerechte Geschwindigkeit konstant. Senkrecht beschleunigt ihn die Schwerkraft mit g, genau wie beim freien Fall. Beide Bewegungen beeinflussen einander nicht. Galilei beschrieb das am vierten Tag von Two New Sciences. Noch heute beginnt jedes Physiklehrbuch mit diesem Ansatz.

Du kannst das mit zwei Münzen ausprobieren. Schnippe eine über eine Tischkante und lasse gleichzeitig die andere an derselben Kante fallen. Du hörst beide gleichzeitig auf dem Boden landen. Die geschnippte Münze bewegt sich zusätzlich seitwärts. Ihre Abwärtsbewegung ist aber derselbe freie Fall wie bei der anderen Münze.

Die Abwurfgeschwindigkeit zerlegen

Verlässt ein Ball den Boden mit dem Tempo v unter einem Winkel θ über der Waagerechten, zerlegt sich seine Geschwindigkeit in v_x = v cos θ waagerecht und v_y = v sin θ senkrecht. Bei 20 m/s und 45° betragen beide Komponenten 20 × 0.707 ≈ 14.1 m/s. Der Rest folgt aus dem freien Fall. Der Ball steigt, bis v_y null erreicht. Das dauert v_y ÷ g. Für den Abstieg braucht er noch einmal dieselbe Zeit. Die Flugzeit ist also T = 2 v sin θ ÷ g. Die Scheitelhöhe beträgt H = (v sin θ)² ÷ 2g. Die Wurfweite ergibt sich aus waagerechtem Tempo × Zeit = v cos θ × T, vereinfacht R = v² sin 2θ ÷ g.

Setze für einen Wurf auf der Erde 20 m/s und 45° ein: T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88 s, H ≈ 10.2 m, R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 m. Diese Werte zeigt das Labor beim Öffnen.

Was die Wurfweitenformel verrät

Weil sin 2θ bei 2θ = 90° am größten ist, erreichst du auf ebenem Boden mit 45° die größte Wurfweite. Winkel, die zusammen 90° ergeben, liefern dieselbe Weite: Bei 30° und 60° fliegt ein Ball mit 20 m/s jeweils etwa 35.3 m weit. Der 60°-Wurf steigt aber höher und bleibt länger in der Luft. Der Faktor v² zeigt, wie stark das Tempo zählt: Bei doppeltem Abwurftempo vervierfacht sich die Wurfweite. g steht im Nenner. Auf dem Mond, wo g etwa ein Sechstel des Erdenwerts beträgt, fliegt derselbe Ball ungefähr sechsmal so weit. Probiere im Labor 20 m/s und 45° auf dem Mond aus: Du erhältst etwa 247 m.

Diese Formeln setzen ebenen Boden, einen Abwurf aus Bodenhöhe und fehlenden Luftwiderstand voraus. Echte Bälle verlieren durch den Luftwiderstand etwas an Wurfweite. Darum geht es in der nächsten Lektion.

Im Sport gibt es viele Wurfbewegungen. Weltklasse-Weitspringer springen laut Videoauswertungen mit etwa 21° ab, also deutlich unter 45°. Die Laufgeschwindigkeit lässt sich gut beibehalten, ein steiler Absprung ist dagegen schwierig. Außerdem landet der Körper tiefer als beim Absprung. Ein Basketball steigt bis zu seinem höchsten Punkt und fällt dann steil in den Korb, wodurch die nutzbare Trefferfläche größer wird. In jedem Fall gelten dieselben zwei Regeln: gleichförmige waagerechte Bewegung und senkrechter freier Fall.