Movimiento de proyectiles

Una pelota lanzada a 20 m/s y 45° permanece en el aire 2.9 segundos y cae a unos 41 m de distancia.

Dos movimientos a la vez

Una pelota lanzada, el chorro de una manguera y un atleta de salto de longitud siguen el mismo tipo de curva: una parábola. Aunque parece complicada, resulta de dos movimientos sencillos que ocurren a la vez. En sentido horizontal, nada empuja ni tira de la pelota una vez que sale de la mano (si ignoramos el aire), así que su velocidad horizontal permanece constante. En sentido vertical, la gravedad la acelera a razón de g, igual que en la caída libre. Los dos movimientos no se afectan entre sí. Galileo lo describió en la cuarta jornada de Dos nuevas ciencias, y sigue siendo el punto de partida de los libros de física.

Puedes comprobarlo con dos monedas. Impulsa una desde el borde de una mesa y deja caer la otra desde el mismo borde al mismo tiempo. Oirás que golpean el suelo juntas. La moneda impulsada también avanza horizontalmente, pero su movimiento hacia abajo es la misma caída libre que el de la otra moneda.

Descomponer la velocidad de lanzamiento

Si una pelota sale del suelo con rapidez v y ángulo θ sobre la horizontal, su velocidad se descompone en una componente horizontal v_x = v cos θ y otra vertical v_y = v sin θ. A 20 m/s y 45°, ambas valen 20 × 0.707 ≈ 14.1 m/s. El resto se deduce de la caída libre. La pelota sube hasta que v_y llega a cero, lo que tarda v_y ÷ g, y tarda lo mismo en bajar. Por tanto, el tiempo en el aire es T = 2 v sin θ ÷ g. La altura máxima es H = (v sin θ)² ÷ 2g. El alcance es rapidez horizontal × tiempo = v cos θ × T, que se simplifica a R = v² sin 2θ ÷ g.

Sustituye los valores para 20 m/s a 45° en la Tierra: T = 2 × 20 × 0.707 ÷ 9.81 ≈ 2.88 s, H ≈ 10.2 m, R = 400 × sin 90° ÷ 9.81 ≈ 40.8 m. Estos son los valores que muestra el laboratorio al abrirse.

Qué nos dice la fórmula del alcance

Como sin 2θ alcanza su máximo cuando 2θ = 90°, el mayor alcance en terreno horizontal se obtiene a 45°. Los ángulos que suman 90° dan el mismo alcance: con 30° y 60°, una pelota a 20 m/s recorre unos 35.3 m, pero el lanzamiento de 60° llega más alto y dura más. El término v² indica que la rapidez influye mucho: si duplicas la rapidez de lanzamiento, el alcance se cuadruplica. Y g está en el denominador: en la Luna, donde g es aproximadamente la sexta parte del valor terrestre, el mismo lanzamiento llega unas seis veces más lejos. Prueba 20 m/s a 45° en la Luna en el laboratorio: obtendrás unos 247 m.

Estas fórmulas suponen terreno horizontal, un lanzamiento desde el nivel del suelo y ausencia de aire. Las pelotas reales pierden alcance por la resistencia del aire, que veremos en la siguiente lección.

En los deportes abundan los proyectiles. En el salto de longitud, el atleta despega con un ángulo menor que 45°, de unos 21° según mediciones en video de saltadores de élite: es fácil conservar la rapidez de la carrera, pero cuesta saltar muy hacia arriba, y el cuerpo aterriza más abajo de donde despegó. Un tiro de básquetbol sube hasta un máximo y entra en el aro con un ángulo pronunciado, lo que ofrece un blanco más amplio. En ambos casos se cumplen las mismas dos reglas: movimiento horizontal uniforme y caída libre en la dirección vertical.