운동 그래프 읽기

위치-시간 그래프에서 평평한 선은 멈춰 있다는 뜻이고, 가파를수록 빠릅니다.

위치-시간 그래프: 기울기가 속도입니다

그래프는 여행 하나를 통째로 그림 한 장에 담아 줍니다. 위치-시간 그래프에서는 시간이 아래쪽 가로축을 따라 흐르고, 위치는 옆쪽 세로축을 따라 올라갑니다. 예를 들어 2 m/s로 꾸준히 걷는 사람은 1초가 지날 때마다 2 m씩 올라가는 직선을 그립니다. 이 직선이 얼마나 가파른지, 즉 직선의 기울기(slope)가 바로 속도입니다. 기울기 = 올라간 양 ÷ 지난 시간 = Δx ÷ Δt. 선이 더 가파를수록 그 사람은 더 빨리 걷고 있는 것입니다. 선이 평평하면 위치가 변하지 않는다는 뜻이니, 그 사람은 멈춰 서 있습니다. 선이 아래로 기울어 있으면 위치가 점점 작아지고 있다는 뜻입니다. 그러니 그 사람은 기준점 쪽으로 되돌아가고 있으며, 이때 속도는 −입니다.

위치-시간 그래프의 선이 곧지 않고 휘어 있으면, 속도가 변하고 있다는 뜻입니다. 갈수록 점점 가팔라지는 곡선은 물체가 빨라지고 있음을 보여 줍니다. 창문에서 떨어뜨린 공이 바로 이런 곡선을 그립니다. 공이 떨어진 거리는 시간의 제곱에 따라 늘어나므로, 그래프는 포물선의 절반 모양이 됩니다. 이런 곡선 위에서 어느 한 순간의 속도를 알고 싶다면, 그 점에서 곡선에 살짝 닿기만 하는 직선인 접선(tangent)을 긋고 그 직선의 기울기를 재면 됩니다.

속도-시간 그래프: 기울기는 가속도, 넓이는 변위

속도-시간 그래프는 옆쪽 세로축에 속도를 놓습니다. 이 그래프에서는 기울기가 가속도를 알려 줍니다. 예를 들어 1초마다 3 m/s씩 올라가는 선은 a = 3 m/s²라는 뜻입니다. 선이 평평하면 속도가 일정하고 가속도는 0입니다. 그리고 속도가 +인데 선이 아래로 내려가고 있다면, 그 물체는 느려지고 있는 것입니다.

속도-시간 그래프에는 숨어 있는 정보가 하나 더 있습니다. 그래프의 선과 시간축 사이에 있는 넓이가 바로 물체의 변위와 같다는 것입니다. 속도가 일정하면 이 넓이는 직사각형이므로 그냥 곱하기만 하면 됩니다. 예를 들어 10 m/s로 5초 동안 움직이면 넓이는 10 × 5 = 50 m인 직사각형입니다. 멈춘 상태에서 출발해 일정하게 가속하는 경우에는 그 넓이가 삼각형이고 ½ × 밑변 × 높이 = ½ × t × (a t) = ½ a t²입니다. 이것은 지난 단원에서 본 식과 똑같습니다. 그래프만 그리면 식을 공짜로 얻는 셈입니다.

여행 하나를 그래프로 풀기

예를 하나 들어 보겠습니다. 버스가 정류장을 떠나 6초 동안 일정하게 빨라져서 12 m/s가 됩니다. 그다음 20초 동안 12 m/s로 꾸준히 달리고, 마지막 4초 동안 일정하게 브레이크를 밟아 멈춥니다. 이것을 속도-시간 그래프로 그리면 사다리꼴이 됩니다. 세 부분의 넓이는 각각 ½ × 6 × 12 = 36 m, 20 × 12 = 240 m, ½ × 4 × 12 = 24 m이므로 버스는 정류장 사이 300 m를 갔습니다. 이 버스의 평균 속력은 300 ÷ 30 = 10 m/s입니다. 출발하는 구간과 멈추는 구간이 있었기 때문에, 평균은 꾸준히 달리던 속력보다 조금 느립니다.

어떤 운동 그래프를 읽든, 맨 먼저 두 축에 붙은 이름을 확인하세요. 똑같은 모양이라도 위치 그래프에서와 속도 그래프에서는 그 뜻이 완전히 다릅니다. 예를 들어 평평한 선은 한쪽 그래프에서는 「멈춰 있음」을 뜻하고, 다른 쪽 그래프에서는 「일정한 빠르기로 움직임」을 뜻합니다.

그래프를 쓰면 움직이는 두 사람을 쉽게 비교할 수도 있습니다. 같은 지점에서 함께 출발한 1.5 m/s의 보행자와 5 m/s의 자전거를 같은 위치-시간 축 위에 그려 보세요. 자전거의 선이 더 가파릅니다. 그리고 어느 시각에서든 두 선 사이의 세로 간격이 그때 둘이 얼마나 떨어져 있는지를 알려 줍니다. 만약 보행자가 조금 앞에서 먼저 출발했다면, 보행자의 선은 세로축의 더 높은 곳에서 시작합니다. 그리고 두 선이 서로 만나는 순간이 바로 자전거가 보행자를 따라잡는 순간입니다.