정상파와 악기

한쪽 끝이 막힌 길이 67.2 cm 관은 22 °C인 날 128 Hz 음을 냅니다. 가운데 도 아래 도(130.8 Hz)보다 조금 낮은 음입니다.

제자리에 서 있는 파동

밧줄의 한쪽 끝을 벽에 묶고, 다른 쪽 끝을 일정한 박자로 흔들어 봅니다. 파동이 벽까지 달려가서 반사되어 돌아오고, 나가는 파동과 돌아오는 파동이 서로 겹칩니다. 흔드는 빠르기가 대부분의 값일 때는 결과가 엉망인 모양이 됩니다. 그런데 어떤 특정한 빠르기에서는 밧줄이 마치 제자리에 멈춰 서 있는 듯한 고리 모양으로 자리를 잡습니다. 밧줄의 어떤 점은 전혀 움직이지 않고, 다른 점은 크게 흔들립니다. OpenStax 교재는 이것을 정상파(standing wave)라고 부릅니다. 정상파는 서로 반대 방향으로 나아가는 똑같은 두 파동이 겹쳐서 만들어집니다. 전혀 움직이지 않는 점을 마디(node)라고 하고, 가장 크게 움직이는 점을 배(antinode)라고 합니다. 서로 이웃한 두 마디 사이의 거리는 반파장입니다.

줄: 배음의 차례

기타나 바이올린의 줄은 양 끝이 단단히 고정되어 있으므로, 양 끝은 반드시 마디가 되어야 합니다. 그래서 두 끝 사이에 반파장이 정수 개만큼 꼭 들어맞는 정상파만 오래 남을 수 있습니다. 그 가운데 파장이 가장 긴 것은 고리가 하나뿐인 모양이고, 길이 L인 줄에서 λ₁ = 2L입니다. 그 진동수가 기본 진동수 f₁ = v/2L입니다(v는 줄 위 파동의 속력). 다음은 고리 두 개짜리로 λ₂ = L, f₂ = 2f₁이고, 그다음은 고리 세 개짜리로 f₃ = 3f₁입니다. 이 진동수들을 배음(harmonics)이라고 부릅니다. OpenStax 교재에 따르면 줄을 조이면 v가 커지고, 그와 함께 이 진동수들이 하나도 빠짐없이 모두 높아집니다. 또 줄을 프렛에 눌러서 L을 짧게 만들어도 음이 높아집니다.

공기 기둥: 열린 관과 막힌 관

관악기는 관 속 공기 기둥에 생기는 정상파를 이용합니다. 병 주둥이를 가로질러 바람을 불면, 병 속의 공기가 자기만의 고유 진동수로 울립니다. 관의 막힌 끝에서는 공기가 움직일 수 없으므로 그곳이 공기 움직임의 마디가 됩니다. 열린 끝에서는 공기가 가장 자유롭게 움직이므로 그곳이 배가 됩니다. 한쪽 끝이 막힌 관에서 가장 낮은 모양은 막힌 끝이 마디, 열린 끝이 배인 4분의 1 파장입니다. 그래서 λ = 4L, f₁ = v/4L입니다. OpenStax 교재에 따르면 이런 관에는 홀수 배음만 생기며 f_n = n v/4L(n = 1, 3, 5, …)입니다. 양 끝이 모두 열린 관은 양 끝이 모두 배가 되므로 λ₁ = 2L이고 모든 배음이 생기며 f_n = n v/2L입니다.

OpenStax 교재의 풀이 예는 여기에 실제 숫자를 넣어 봅니다. 기온이 22 °C인 날에 소리의 속력은 약 344 m/s입니다. OpenStax는 128 Hz를 가운데 도 아래의 도라고 적지만, 라를 440 Hz로 맞추면 그 도는 약 130.8 Hz입니다. 기본 진동수가 128 Hz인 막힌 관의 길이는 L = v/4f₁ = 344 ÷ (4 × 128) = 0.672 m여야 합니다. 이 관의 네 번째 상음은 아홉 번째 배음이며, 그 진동수는 9 × 128 Hz = 1.15 kHz입니다. 소리의 속력은 온도에 따라 달라지므로, 관악기의 관이 내는 음높이도 온도에 따라 함께 달라집니다. 그래서 OpenStax 교재는 연주자들이 다른 악기와 함께 연주하기 전에 관악기를 실내 온도에 맞춰 둔다고 설명합니다.

악기마다 소리가 다른 까닭

실제 악기가 기본 진동수 하나만 내는 일은 드뭅니다. 줄이나 공기 기둥은 여러 배음으로 한꺼번에 진동하고, 이 배음들이 섞인 모습을 우리는 소리의 빛깔인 음색(timbre)으로 듣습니다. OpenStax 교재는 트럼펫과 클라리넷의 가운데 도를 예로 듭니다. 두 악기의 기본 진동수는 같습니다. 하지만 어떤 상음이 섞여 있는지, 그 상음이 얼마나 센지가 서로 다릅니다. 그래서 여러분은 눈을 감고도 두 악기를 구별할 수 있습니다. 기타나 바이올린의 몸통은 자기 나름의 공명을 더해서 몇몇 상음을 더 세게 만듭니다. 사람의 목소리도 이와 같은 방식으로 소리를 냅니다. 목과 입이 함께 울리는 관의 역할을 하고, 우리는 그 관의 모양을 바꾸어 서로 다른 모음을 냅니다.