Stehende Wellen und Musikinstrumente

Ein einseitig geschlossenes Rohr von 67.2 cm Länge erzeugt an einem Tag mit 22 °C einen Ton mit 128 Hz, etwas unter dem C unterhalb des mittleren C (130.8 Hz).

Wellen, die am Ort bleiben

Befestige ein Seil an einer Wand und bewege das andere Ende gleichmäßig auf und ab. Wellen laufen zur Wand, werden reflektiert und kehren zurück. Hin- und rücklaufende Wellen überlagern sich. Bei den meisten Anregungsfrequenzen ergibt das ein Durcheinander. Bei bestimmten Frequenzen bildet sich jedoch ein stabiles Muster aus scheinbar stillstehenden Bäuchen: Manche Punkte bewegen sich gar nicht, andere schwingen weit aus. OpenStax nennt das eine stehende Welle, die durch zwei gleiche, entgegengesetzt laufende Wellen entsteht. Unbewegte Punkte heißen Knoten, Punkte größter Auslenkung Bäuche. Benachbarte Knoten liegen eine halbe Wellenlänge auseinander.

Saiten: die harmonische Reihe

Eine Gitarren- oder Geigensaite ist an beiden Enden befestigt. Beide Enden müssen deshalb Knoten sein. Bestand haben nur stehende Wellen, bei denen eine ganze Anzahl halber Wellenlängen zwischen die Enden passt. Die längste hat einen Bauch: λ₁ = 2L bei einer Saite der Länge L. Ihre Frequenz ist die Grundfrequenz f₁ = v/2L, wobei v die Wellengeschwindigkeit auf der Saite ist. Das nächste passende Muster hat zwei Bäuche, λ₂ = L und f₂ = 2f₁; danach folgen drei Bäuche mit f₃ = 3f₁. Das sind die harmonischen Schwingungen. Wie OpenStax erläutert, erhöht stärkeres Spannen der Saite v und damit jede dieser Frequenzen. Drückst du eine Saite auf einen Bund, verkürzt sich L, wodurch der Ton ebenfalls höher wird.

Luftsäulen: offene und geschlossene Rohre

Blasinstrumente nutzen stehende Wellen in einer Luftsäule. Bläst du über eine Flaschenöffnung, schwingt die Luft darin mit ihrer Eigenfrequenz. An einem geschlossenen Ende kann sich die Luft nicht bewegen: Dort liegt ein Bewegungsknoten. An einem offenen Ende bewegt sie sich am freiesten: Dort liegt ein Bauch. Bei einem einseitig geschlossenen Rohr hat das tiefste Muster einen Knoten am geschlossenen und einen Bauch am offenen Ende. Das entspricht einer Viertelwellenlänge: λ = 4L und f₁ = v/4L. OpenStax zeigt, dass nur ungerade Harmonische passen: f_n = n v/4L mit n = 1, 3, 5, …. Ein beidseitig offenes Rohr hat an beiden Enden Bäuche, also gilt λ₁ = 2L, und alle Harmonischen treten auf: f_n = n v/2L.

Das Rechenbeispiel von OpenStax setzt dafür Zahlen ein. An einem Tag mit 22 °C breitet sich Schall mit etwa 344 m/s aus. OpenStax bezeichnet 128 Hz als das C unterhalb des mittleren C. Bei einer Stimmung mit A = 440 Hz liegt dieses C allerdings bei etwa 130.8 Hz. Ein geschlossenes Rohr mit einer Grundfrequenz von 128 Hz muss L = v/4f₁ = 344 ÷ (4 × 128) = 0.672 m lang sein. Sein vierter Oberton ist die neunte Harmonische: 9 × 128 Hz = 1.15 kHz. Da die Schallgeschwindigkeit von der Temperatur abhängt, gilt das auch für die Tonhöhe eines Rohrs. Deshalb erwähnt OpenStax, dass Musiker Blasinstrumente vor dem Zusammenspiel auf Raumtemperatur bringen.

Warum Instrumente unterschiedlich klingen

Ein echtes Instrument erzeugt selten nur seinen Grundton. Die Saite oder Luftsäule schwingt gleichzeitig in mehreren harmonischen Schwingungen. Deren Mischung hören wir als Klangfarbe oder Timbre. OpenStax nennt das mittlere C auf einer Trompete und einer Klarinette: Die Grundfrequenz ist gleich, aber Obertöne und ihre Stärke unterscheiden sich. Deshalb kannst du die Instrumente mit geschlossenen Augen auseinanderhalten. Der Korpus einer Gitarre oder Geige steuert eigene Resonanzen bei, die manche Obertöne verstärken. Selbst die menschliche Stimme funktioniert so: Rachen und Mund bilden ein Resonanzrohr, dessen Form wir für verschiedene Vokale verändern.