Ondes stationnaires et instruments de musique

Un tube fermé à une extrémité, long de 67.2 cm, émet un son de 128 Hz à 22 °C, légèrement plus grave que le do sous le do central (130.8 Hz).

Des ondes qui restent sur place

Attache une corde à un mur et secoue l’autre extrémité régulièrement. Les ondes atteignent le mur, se réfléchissent et reviennent ; les ondes aller et retour se superposent. À la plupart des fréquences d’agitation, le résultat est désordonné. À certaines fréquences, la corde prend une forme stable de fuseaux qui semblent immobiles : certains points ne bougent jamais, d’autres oscillent largement. OpenStax appelle cela une onde stationnaire, formée par deux ondes identiques se propageant en sens opposés. Les points immobiles sont les nœuds, ceux où le mouvement est maximal sont les ventres. Deux nœuds voisins sont séparés d’une demi-longueur d’onde.

Cordes : la série harmonique

Une corde de guitare ou de violon est fixée à ses deux extrémités, qui sont donc des nœuds. Seules persistent les ondes stationnaires dont un nombre entier de demi-longueurs d’onde tient entre ces extrémités. La plus longue forme un seul fuseau : λ₁ = 2L pour une corde de longueur L. Sa fréquence est la fondamentale, f₁ = v/2L, où v est la célérité sur la corde. Le mode suivant forme deux fuseaux, λ₂ = L et f₂ = 2f₁ ; puis viennent trois fuseaux et f₃ = 3f₁. Ce sont les harmoniques. OpenStax précise que tendre davantage la corde augmente v et donc toutes ces fréquences. Appuyer sur une frette raccourcit L, ce qui rend aussi la note plus aiguë.

Colonnes d’air : tuyaux ouverts et fermés

Les instruments à vent utilisent des ondes stationnaires dans une colonne d’air. Souffle sur le goulot d’une bouteille : l’air résonne à sa fréquence propre. À une extrémité fermée, l’air ne peut pas bouger : c’est un nœud de déplacement ; à une extrémité ouverte, il bouge le plus librement : c’est un ventre. Dans un tube fermé à une extrémité, le mode le plus bas comporte un nœud au bout fermé et un ventre au bout ouvert, soit un quart de longueur d’onde : λ = 4L et f₁ = v/4L. OpenStax montre que seuls les harmoniques impairs conviennent : f_n = n v/4L, avec n = 1, 3, 5, …. Un tube ouvert aux deux extrémités a deux ventres aux extrémités : λ₁ = 2L et tous les harmoniques apparaissent, f_n = n v/2L.

L’exemple résolu d’OpenStax chiffre le cas. À 22 °C, le son se propage à environ 344 m/s. OpenStax appelle 128 Hz le do sous le do central, même si, avec un la accordé à 440 Hz, ce do est à environ 130.8 Hz. Pour un tube fermé de fondamentale 128 Hz, il faut L = v/4f₁ = 344 ÷ (4 × 128) = 0.672 m. Son quatrième partiel supérieur est le neuvième harmonique : 9 × 128 Hz = 1.15 kHz. Comme la célérité du son dépend de la température, la hauteur d’un tuyau aussi. C’est pourquoi OpenStax rappelle que les musiciens laissent leurs instruments à vent prendre la température de la pièce avant de jouer ensemble.

Pourquoi les instruments ont-ils des sons différents ?

Un instrument réel ne produit presque jamais sa seule fondamentale. La corde ou la colonne d’air vibre sur plusieurs harmoniques à la fois ; leur mélange donne la couleur sonore, ou timbre. OpenStax prend l’exemple du do central à la trompette et à la clarinette : la fondamentale est la même, mais les partiels supérieurs et leurs intensités diffèrent. On reconnaît donc les instruments les yeux fermés. La caisse d’une guitare ou d’un violon ajoute ses propres résonances, qui renforcent certains partiels. La voix humaine fonctionne aussi ainsi : la gorge et la bouche forment un tube résonant dont nous changeons la forme pour produire différentes voyelles.