Стоячие волны и музыкальные инструменты

Труба длиной 67.2 cm, закрытая с одного конца, при 22 °C звучит на частоте 128 Hz. Это чуть ниже ноты до малой октавы (130.8 Hz).

Волны, которые остаются на месте

Привяжи верёвку к стене и равномерно качай другой конец. Волны бегут к стене, отражаются и возвращаются, накладываясь на уходящие волны. При большинстве частот получается беспорядочная картина. Но при некоторых частотах возникают устойчивые петли, словно стоящие на месте: одни точки не движутся, а другие сильно колеблются. OpenStax называет это стоячей волной, образованной двумя одинаковыми волнами, движущимися в противоположных направлениях. Неподвижные точки называют узлами, а точки наибольших колебаний пучностями. Соседние узлы разделены половиной длины волны.

Струны: гармонический ряд

Гитарная или скрипичная струна закреплена с двух концов, поэтому на обоих концах должны быть узлы. Сохраняются только стоячие волны, у которых между концами укладывается целое число полуволн. Самая длинная образует одну петлю: λ₁ = 2L для струны длиной L. Её частота называется основной: f₁ = v/2L, где v означает скорость волны на струне. Следующая подходящая волна образует две петли: λ₂ = L и f₂ = 2f₁. Затем идут три петли и f₃ = 3f₁. Это гармоники. OpenStax отмечает, что натягивание струны увеличивает v, а вместе с ней все эти частоты. Прижатие струны к ладу уменьшает L и тоже повышает ноту.

Воздушные столбы: открытые и закрытые трубы

В духовых инструментах возникают стоячие волны в столбе воздуха. Подуй поперёк горлышка бутылки: воздух внутри зазвучит на собственной частоте. У закрытого конца воздух двигаться не может, поэтому там узел колебаний воздуха. У открытого конца он движется наиболее свободно, поэтому там пучность. В трубе, закрытой с одного конца, основное колебание имеет узел у закрытого конца и пучность у открытого. Это четверть длины волны: λ = 4L и f₁ = v/4L. OpenStax показывает, что укладываются только нечётные гармоники: f_n = n v/4L при n = 1, 3, 5, …. У трубы, открытой с двух концов, на обоих концах пучности, поэтому λ₁ = 2L и присутствуют все гармоники: f_n = n v/2L.

В разобранном примере OpenStax приведены числа. При 22 °C звук распространяется со скоростью около 344 m/s. OpenStax называет частоту 128 Hz нотой до малой октавы, хотя при настройке ля на 440 Hz эта нота имеет частоту около 130.8 Hz. Для закрытой трубы с основной частотой 128 Hz нужна длина L = v/4f₁ = 344 ÷ (4 × 128) = 0.672 m. Её четвёртый обертон соответствует девятой гармонике: 9 × 128 Hz = 1.15 kHz. Поскольку скорость звука зависит от температуры, от неё зависит и высота звука трубы. Поэтому OpenStax отмечает, что перед совместной игрой музыканты дают духовым инструментам достичь комнатной температуры.

Почему инструменты звучат по-разному

Настоящий инструмент редко издаёт только основной тон. Струна или столб воздуха одновременно колеблется на нескольких гармониках. Их сочетание мы воспринимаем как окраску звука, или тембр. OpenStax приводит пример ноты до первой октавы на трубе и кларнете: основная частота одинакова, но обертоны и их интенсивности различаются, поэтому инструменты можно различить с закрытыми глазами. Корпус гитары или скрипки добавляет собственные резонансы, усиливающие некоторые обертоны. Так же работает человеческий голос: глотка и рот образуют резонирующую трубу, форму которой мы меняем, произнося разные гласные.