Onde stazionarie e strumenti musicali

Un tubo chiuso a un'estremità, lungo 67.2 cm, produce un suono di 128 Hz in una giornata a 22 °C, poco sotto il C un’ottava sotto il C centrale (130.8 Hz).

Onde che restano ferme

Lega una corda a una parete e scuoti regolarmente l'altra estremità. Le onde raggiungono la parete, si riflettono e tornano indietro, sovrapponendosi a quelle in arrivo. Alla maggior parte delle frequenze di oscillazione il risultato è disordinato. A certe frequenze, però, la corda assume una forma stabile a ventri che sembrano fermi: alcuni punti non si muovono mai, altri oscillano ampiamente. OpenStax la chiama onda stazionaria, formata da due onde identiche che viaggiano in direzioni opposte. I punti immobili sono i nodi; quelli di massimo movimento sono i ventri. Due nodi consecutivi distano mezza lunghezza d'onda.

Corde: la serie armonica

Una corda di chitarra o violino è fissata alle due estremità, che devono quindi essere nodi. Possono persistere soltanto onde stazionarie con un numero intero di mezze lunghezze d'onda tra le estremità. L'onda più lunga ha un solo ventre, con λ₁ = 2L per una corda di lunghezza L. La sua frequenza è la fondamentale, f₁ = v/2L, dove v è la velocità dell'onda sulla corda. La forma successiva ha due ventri, λ₂ = L e f₂ = 2f₁; poi tre ventri e f₃ = 3f₁. Sono le armoniche. OpenStax osserva che tendere la corda aumenta v e quindi tutte queste frequenze. Premere una corda contro un tasto accorcia L, rendendo anch'esso più acuta la nota.

Colonne d'aria: tubi aperti e chiusi

Gli strumenti a fiato sfruttano onde stazionarie in una colonna d'aria. Soffia sul bordo di una bottiglia: l'aria al suo interno risuona alla propria frequenza naturale. A un'estremità chiusa l'aria non può muoversi: è quindi un nodo del movimento dell'aria. A un'estremità aperta l'aria si muove più liberamente: è un ventre. In un tubo chiuso a un'estremità, il modo più basso ha un nodo all'estremità chiusa e un ventre a quella aperta, pari a un quarto di lunghezza d'onda: λ = 4L e f₁ = v/4L. OpenStax mostra che sono possibili soltanto le armoniche dispari, f_n = n v/4L con n = 1, 3, 5, …. Un tubo aperto alle due estremità ha ventri a entrambe le estremità, quindi λ₁ = 2L e compaiono tutte le armoniche, f_n = n v/2L.

L'esempio svolto di OpenStax applica queste relazioni ai numeri. In una giornata a 22 °C il suono viaggia a circa 344 m/s. OpenStax chiama C sotto il C centrale la nota di 128 Hz, anche se con A accordato a 440 Hz quel C è circa 130.8 Hz. Un tubo chiuso con fondamentale di 128 Hz deve essere lungo L = v/4f₁ = 344 ÷ (4 × 128) = 0.672 m. Il suo quarto ipertono è la nona armonica, 9 × 128 Hz = 1.15 kHz. Poiché la velocità del suono dipende dalla temperatura, anche l'altezza del suono di un tubo ne dipende: per questo OpenStax ricorda che i musicisti portano gli strumenti a fiato a temperatura ambiente prima di suonare insieme ad altri.

Perché gli strumenti hanno suoni diversi

Uno strumento reale raramente produce soltanto la fondamentale. La corda o la colonna d'aria vibra contemporaneamente su diverse armoniche: la loro combinazione è ciò che percepiamo come colore del suono, o timbro. OpenStax fa l'esempio del C centrale suonato da una tromba e da un clarinetto: la fondamentale è uguale, ma gli ipertoni e le loro intensità differiscono, quindi distingui gli strumenti anche a occhi chiusi. La cassa di una chitarra o di un violino aggiunge le proprie risonanze, che rinforzano alcuni ipertoni. Anche la voce umana funziona così: gola e bocca agiscono come un tubo risonante di cui cambiamo la forma per produrre vocali diverse.