Ondas estacionarias e instrumentos musicales

Un tubo cerrado por un extremo y de 67.2 cm de largo produce 128 Hz en un día a 22 °C, un poco por debajo del C situado bajo el C central (130.8 Hz).

Ondas que permanecen en su sitio

Ata una cuerda a una pared y sacude el otro extremo a ritmo constante. Las ondas llegan a la pared, se reflejan y regresan, y las ondas de ida y vuelta se superponen. A la mayoría de los ritmos, el resultado es desordenado. A ciertos ritmos, la cuerda adopta un patrón estable de vientres que parecen inmóviles: algunos puntos nunca se mueven y otros oscilan ampliamente. OpenStax llama a esto onda estacionaria, formada por dos ondas idénticas que viajan en sentidos opuestos. Los puntos que no se mueven son nodos y los de mayor movimiento son antinodos. Los nodos vecinos están separados por media longitud de onda.

Cuerdas: la serie armónica

Una cuerda de guitarra o violín está fija en ambos extremos, así que los dos deben ser nodos. Solo pueden mantenerse las ondas estacionarias en las que cabe un número entero de medias longitudes de onda entre los extremos. La más larga tiene un solo vientre, con λ₁ = 2L para una cuerda de longitud L. Su frecuencia es la fundamental, f₁ = v/2L, donde v es la rapidez de la onda en la cuerda. El siguiente patrón tiene dos vientres, λ₂ = L y f₂ = 2f₁; luego vienen tres vientres y f₃ = 3f₁. Estos son los armónicos, y OpenStax señala que tensar la cuerda aumenta v y, con ella, todas estas frecuencias. Presionar una cuerda contra un traste acorta L, lo que también eleva la nota.

Columnas de aire: tubos abiertos y cerrados

Los instrumentos de viento utilizan ondas estacionarias en una columna de aire. Sopla sobre la boca de una botella y el aire interior resonará a su propia frecuencia natural. En un extremo cerrado el aire no puede moverse, por lo que es un nodo del movimiento del aire; en un extremo abierto el aire se mueve con mayor libertad, por lo que es un antinodo. En un tubo cerrado por un extremo, el patrón de menor frecuencia tiene un nodo en el extremo cerrado y un antinodo en el abierto, un cuarto de longitud de onda: λ = 4L y f₁ = v/4L. OpenStax muestra que solo caben armónicos impares, f_n = n v/4L con n = 1, 3, 5, …. Un tubo abierto por ambos extremos tiene antinodos en ambos, así que λ₁ = 2L y aparecen todos los armónicos, f_n = n v/2L.

El ejemplo resuelto de OpenStax pone cifras a esto. En un día a 22 °C, el sonido viaja a unos 344 m/s. OpenStax llama a los 128 Hz el C situado bajo el C central, aunque con el A afinado a 440 Hz ese C es de unos 130.8 Hz. Un tubo cerrado con una fundamental de 128 Hz debe medir L = v/4f₁ = 344 ÷ (4 × 128) = 0.672 m. Su cuarto sobretono es el noveno armónico, 9 × 128 Hz = 1.15 kHz. Como la rapidez del sonido depende de la temperatura, también depende de ella la altura tonal de un tubo; por eso OpenStax menciona que los músicos llevan los instrumentos de viento a temperatura ambiente antes de tocar con otros.

Por qué los instrumentos suenan diferentes

Un instrumento real rara vez produce solo su frecuencia fundamental. La cuerda o la columna de aire vibra en varios armónicos a la vez, y la mezcla es lo que percibimos como el color del sonido, o timbre. OpenStax da el ejemplo del C central en una trompeta y un clarinete: la fundamental es la misma, pero los sobretonos y sus intensidades difieren, así que puedes distinguir los instrumentos con los ojos cerrados. La caja de una guitarra o un violín agrega sus propias resonancias, que refuerzan ciertos sobretonos. Hasta la voz humana funciona así: la garganta y la boca actúan como un tubo resonante cuya forma cambiamos para producir distintas vocales.