Staande golven en muziekinstrumenten
Een buis die aan één kant gesloten is en 67.2 cm lang is, geeft bij 22 °C een toon van 128 Hz. Dat is iets lager dan de C onder de middelste C (130.8 Hz).
Golven die blijven staan
Bind een touw aan een muur en schud het andere uiteinde gelijkmatig. Golven reizen naar de muur, kaatsen terug en overlappen de heengaande golven. Bij de meeste frequenties is het resultaat chaotisch. Bij bepaalde frequenties ontstaan vaste lussen die lijken stil te staan: sommige punten bewegen niet, andere sterk. Dit heet volgens OpenStax een staande golf, gevormd door twee gelijke golven die in tegengestelde richting bewegen. Onbewegende punten heten knopen; punten met maximale beweging heten buiken. Naburige knopen liggen een halve golflengte uiteen.
Snaren: harmonische reeks
Een gitaar- of vioolsnaar zit aan beide uiteinden vast. Die uiteinden moeten dus allebei knopen zijn. Alleen staande golven waarvoor een geheel aantal halve golflengtes tussen de uiteinden past, kunnen blijven bestaan. Het langste patroon heeft één lus, met λ₁ = 2L voor een snaar met lengte L. De frequentie daarvan is de grondfrequentie, f₁ = v/2L, waarbij v de golfsnelheid op de snaar is. Het volgende passende patroon heeft twee lussen, λ₂ = L en f₂ = 2f₁. Daarna komen drie lussen met f₃ = 3f₁. Dit zijn de harmonischen. OpenStax merkt op dat het aanspannen van de snaar v verhoogt en daarmee ook elk van deze frequenties. Een snaar tegen een fret drukken verkort L, waardoor de toon eveneens hoger wordt.
Sleep om te draaien. Scroll of knijp om te zoomen.
Luchtkolommen: open en gesloten buizen
Blaasinstrumenten gebruiken staande golven in een luchtkolom. Blaas over een fles en de lucht binnenin klinkt met haar eigen natuurlijke frequentie. Aan een gesloten uiteinde kan de lucht niet bewegen: dat is een knoop van de luchtbeweging. Aan een open uiteinde beweegt de lucht het vrijst: dat is een buik. In een eenzijdig gesloten buis heeft het laagste patroon een knoop aan het gesloten uiteinde en een buik aan het open uiteinde. Dat is een kwart golflengte: λ = 4L en f₁ = v/4L. Volgens OpenStax passen alleen oneven harmonischen: f_n = n v/4L met n = 1, 3, 5, …. Een buis die aan beide uiteinden open is, heeft aan beide kanten buiken. Dan geldt λ₁ = 2L en komen alle harmonischen voor, f_n = n v/2L.
Het uitgewerkte voorbeeld van OpenStax geeft hier getallen bij. Op een dag van 22 °C reist geluid met ongeveer 344 m/s. OpenStax noemt 128 Hz de C onder de middelste C, hoewel die C bij een A van 440 Hz ongeveer 130.8 Hz is. Een gesloten buis met een grondfrequentie van 128 Hz moet L = v/4f₁ = 344 ÷ (4 × 128) = 0.672 m lang zijn. De vierde boventoon is de negende harmonische, 9 × 128 Hz = 1.15 kHz. Omdat de geluidssnelheid afhangt van de temperatuur, geldt dat ook voor de toonhoogte van een buis. Daarom merkt OpenStax op dat musici hun blaasinstrumenten op kamertemperatuur brengen voordat ze met anderen samenspelen.
Waarom instrumenten anders klinken
Een echt instrument laat zelden alleen zijn grondtoon horen. De snaar of luchtkolom trilt in meerdere harmonischen tegelijk. Dat mengsel horen we als klankkleur of timbre. OpenStax noemt als voorbeeld de middelste C op een trompet en op een klarinet: de grondfrequentie is gelijk, maar de boventonen en hun sterktes verschillen. Daarom kun je de instrumenten met gesloten ogen uit elkaar houden. De klankkast van een gitaar of viool voegt eigen resonanties toe die sommige boventonen versterken. Zelfs de menselijke stem werkt zo: keel en mond vormen een resonantiebuis waarvan we de vorm veranderen om verschillende klinkers te maken.
- Over een snaar van 0.65 m reizen golven met 286 m/s. Wat is de grondfrequentie van de snaar?
- Wat is de tweede harmonische van die snaar?
- Een snaar die aan beide uiteinden vastzit, trilt in de derde harmonische met drie lussen. Hoeveel knopen zijn er als je beide uiteinden meetelt?
- Bij de grondtoon van een snaar met lengte L die aan beide uiteinden vastzit, is de golflengte…
- 2L
- L
- L/2
- 4L
- Voor een buis die aan één kant gesloten is, is de golflengte van de grondtoon…
- 4L
- 2L
- L
- L/4
- Welke harmonischen kan een buis die aan één kant gesloten is voortbrengen?
- Alleen oneven (1, 3, 5, …)
- Alleen even
- Alle gehele getallen
- Alleen de grondtoon
- Een buis die aan beide uiteinden open is, is 0.50 m lang. Wat is de grondfrequentie bij een geluidssnelheid van 343 m/s?
- Een gesloten buis moet op een dag van 22 °C een toon van 128 Hz geven (v = 344 m/s). Hoe lang moet zij zijn? Geef drie decimalen.
- Je spant een gitaarsnaar strakker zonder haar lengte te veranderen. De toon…
- Stijgt
- Daalt
- Blijft gelijk
- Verdwijnt
- Een trompet en een klarinet spelen dezelfde noot. Waarom klinken ze toch verschillend?
- Andere mengsels van boventonen
- Andere grondfrequenties
- Het geluid van het ene instrument reist sneller
- Het ene instrument maakt transversaal geluid
- Staande golven: twee tegengesteld bewegende golven overlappen elkaar. De knopen blijven stilstaan en de buiken bewegen het sterkst.
- Voor een snaar met twee vaste uiteinden geldt f_n = n v/2L, met alle harmonischen.
- Voor een open buis geldt f_n = n v/2L. Voor een gesloten buis geldt f_n = n v/4L, met alleen oneven n.
- Het mengsel van boventonen bepaalt de klankkleur.
Bronnen van deze cursus (11)
- OpenStax College Physics 2e (openstax.org/books/college-physics-2e): 16.9 Waves (disturbance that propagates, gull example λ 10.0 m, T 5.00 s, v = 2.00 m/s, transverse and longitudinal, amplitude independent of speed)
- 16.10 Superposition and Interference (constructive, destructive, standing waves, f1 = v/2L, beats fB = |f1 − f2|, 256 Hz fork with 2 beats -> 254 or 258 Hz)
- 17.2 Speed of Sound (Table 17.1: air 331 m/s at 0 °C, helium 965, fresh water 1480, sea water 1540, steel 5960, vulcanized rubber 54; v = 331 m/s × √(T/273 K); 343 m/s at 20 °C; audible range 20 to 20 000 Hz; P-waves 4 to 7 km/s, S-waves 2 to 5 km/s; Oldham and Lehmann)
- 17.3 Sound Intensity (I0 = 10⁻¹² W/m², Table 17.2, factor 10 = 10 dB, factor 2 = 3 dB, 85 dB for 8 h footnote, bel named for Bell)
- 17.5 Sound Interference and Resonance (noise-cancelling headphones 30 dB or more, closed tube λ = 4L and f_n = n v/4L with n odd, open tube f_n = n v/2L, 128 Hz tube at 22 °C = 0.672 m, ninth harmonic 1.15 kHz, trumpet vs clarinet overtones)
- 24.1 (Maxwell; Hertz from 1887)
- 24.3 The Electromagnetic Spectrum (c = fλ, Table 24.1, three rules of thumb, AM 540 to 1600 kHz, FM 88 to 108 MHz, microwave oven 2.45 GHz, visible 400 to 750 nm, UV 400 to about 10 nm, UV-A 320 to 400, UV-B 290 to 320, UV-C 220 to 290 nm, 99% of surface UV is UV-A, X-rays below 0.01 nm)
- 27.3 Young's Double Slit (1801, d sin θ = mλ, 0.0100 mm and 633 nm example)
- NASA science.nasa.gov/ems (Introduction, Visible Light: 380 to 700 nm; atmospheric windows)
- NIST, c = 299 792 458 m/s exact (nist.gov/si-redefinition/meter)
- ISO 16:1975 (A = 440 Hz, iso.org/standard/3601.html).
Geraadpleegd: 2026-10-17